Аннотация: Друзья, извините - я должен предупредить - это - про преобразование фурье
Фурье
элегия
Понять величие фурье-преобразования...
Здесь слово "Фурье" я пишу с маленькой буквы, потому что это на самом деле великое имя...
Слово фурье за последние два века стало надо писать с маленькой. Мир фурье. Образы фурье. Пространство фурье. Фурье-взаимность. Фурье-интуиция.
Припоминая всё, на самом деле всю физику, всю математику, золотыми буквами в памяти высвечивается имя фурье.
Волновое уравнение, в качестве скорости звука скорость света - великое "с". Все уравнения в частных производных - теплопроводность, уравнения Лапласа, Пуассона, Гельмгольца, в сущности вся математическая физика. Это было только начало. Метод Фурье. Это на самом деле было только начало.
Суть фурье не дано понять сразу и появляется он, а точнее оно - нет, у него нет одного лица и не придумать адекватного местоимения, поэтому лучше сказать: они - не сразу, а из-за угла. Может быть, даже первый раз просто как непрерывизация незамысловатого ряда Фурье, рядка Фурье - тогда ещё можно было решиться назвать его так фамильярно...
Зачем и почему они такие, почему, почему они единственные. Свёртка, дифференцирования, взаимность дифференцирования и умножения на переменную. Да, и ещё квантовая механика! Как, разве случайно, разве случайно -- координата и импульс, гармонический осциллятор, координатное и импульсное представление... Ну и ну!...
Потом человечество узнало про неподвижную точку фурье - про великую и загадочную гауссову экспоненты. Потом узнать, что она не одна, что их много, их целый набор, целый базис - эрмиты... Потом опять гармонический осциллятор. Аналитизм, эрмиты, экспоненты, производящие функции, опять, опять и опять гауссовы экспоненты.
Что можно сказать о дальнейшем... То, что все уравнения, как правило, решаются аналитически при помощи фурье и только при помощи фурье. То, что ряды Лорана по сути являются фурье. То, что фурье инволютивны, или то, что они переводят пространства эс в эс и эль два в эль два, переводит на самом деле на, то есть то, что они изоморфизм. Или то, что они унитарны, и унитарны в самом естественном унитарном пространстве. Или что их ядром является экспонента - великая экспонента, собственная точка дифференцирования, единично-коэффициентная аналитичность...
Можно ещё вспомнить много много много всего. Преобразование Лапласа, Лаплас - он тоже они, фурье - лишь перейти от ветви к ветви, заменить переменные и опять фурье. Свертка, образ свертки, взаимность звёздочки свертки с точечкой умножения. А, свертка, единица свертки введенная Дираком, свёрточная алгебра, функции Грина в бесконечном пространстве и пространстве-времени, и ещё - графики Фейнмана, загадочные своим тайным смыслом, дыхание которого скрывается за скромным формальным определением...
Потом пришли они - обобщенные функции. Временами кажется странное. Кажется, что до них, до обобщённых функций фурье не жили, а только рождались, только выходили из пелёнок доброго французского чиновника - теоретика тепла и теплоты. Теперь делать с функциями можно всё!!!!!!!! Преобразовать всё, что угодно, сингулярности, скачки, разрывы, радиосигналы, всю жизнь любого уравнения - и фурье не поперхнутся. Эль-один!!! Ха-ха-ха-ха... Да, правда, это уже вро-де-бы не совсем те фурье, это фурье обобщённые, преобразования фурье обобщённых функций, в духе стилистики и поэтики новой теории. Но на то они - это именно они, а не он или оно. Но про это никто не помнит, всё отождествляют разные фурье в одно большое, не заботясь о возможном загрязнении палитры парой интегрируемых или неинтегрируемых сингулярностей.
Жизнь на оси. Это, казалось бы, великая жизнь... Пожив этой жизнью, где-нибудь в пространстве де (де - может и это совпадение не случайно), дико страшно и невозможно покажется возвратиться на отрезок. Непрерывный спектр, спектр -- вся ось... Опять квантовая механика, пока, конечно, только по наитию, постольку, поскольку незрелое сознание способно её принять и понять, и в ней - свободное движение, свободное, как живая человеческая свобода.
Но это только математика.
Дальше больше.
Поля, теория поля, оператор д'Аламбера, маленькая це в знаменателе. Везде, везде метод Фурье. Ко и контр мир, контр и ко пространство, взаимные базисы, ко и контр формализм... Механика, локальные поля. Потом совсем что-то неясное. Кажется, иногда сознание отказывалось работать, не постигая величие, всё величие, смысл и значение (значение - главное) этих дисперсионных соотношений и спектров, форм дисперсионных соотношений элементарных частиц... А... Кажется, что то, было в 19 веке в работах Максвелла, цепочки пружинок, матрица из синусов, было красиво, был спектр, новое слово - акустические фононы. Преклониться и пока сложить свою самость перед незримым, но тем не менее великим из величайших принципов построения теории всего. Да, дела...
Почему можно взять из уравнения только дисперсионное соотношение и ничего больше... Теперь0то понятно, что это по сути самое главное, что можно сделать с уравнением - взять у него дисперсионное соотношение. А всё остальное - однородное, неоднородное решение, общее и необщее решения, влияние нелинейности - только атрибуты, нехитрые следствия или расширения этого одного, дисперсионного соотношения...
Потом опять фононы. Как будто приглядываться, долго приглядываться к некой картине и заметить детали. Детали!...... Та, та самая нормализация колебаний, приведение пары форм, является тоже неким фурье, быть может чуть более модифицированным и обобщенным... шальная мысль, что и в наиболее фундаментальной единой теории поля есть решетка в пространстве -времени (не с планковски ли размером?) , и частицы и фотоны - это фононы и что то ещё в этой фундаментальной решеке мира.
Кристаллическое твёрдое тело, трансляционная симметрия.. Тут, вообще-то, приходят многомерные фурье. Тут правит симметрия и взаимные базисы. Сидеть тихо и слушать теорему Блоха. Абелевы группы и представления трансляций. Его сначала не узнали. Так бывает, когда смотришь на что-нибудь казалось бы очень знакомое и не можешь даже помыслить, что оно - это оно, точнее они, что это твой добрый, но великий знакомец, точнее знакомцы, которые никогда ничего не делают специально - так и сейчас, они ничего не делали специально, чтобы в корнях из минус единицы узнали то самое ядро тех самых фурье.
Явится ещё много чего. Фурье всё опишут и всё объяснят. Говоря лучше - они - это то самое - то самое преобразования, которое всё преобразует в единственно обозримый, единственно доступный слабости человеческого сознания вид. Они - диагонализатор. Они - мост между ко и контр миром, между координатой и волновым вектором, между временем и частотой.... Что такое они, что они есть одним словом?... Что?... Неизвестно... Как знать... Может быть навсегда...