Частухин Александр Евгеньевич. Более общий аналог abc-гипотезы

Более общий аналог abc-гипотезы

УДК 511

Введение

Одной из наиболее известных математических гипотез в теории чисел является abc-гипотеза, сформулированная независимо друг от друга Дэвидом Массером в 1985 г. и Джозефом Эстерле в 1988 г.

Актуальность

Из данной гипотезы вытекает достаточно много важных следствий. Но имеются и вопросы. Единственный ли это вариант сформулировать подобного рода гипотезу? И насколько данный вариант является оптимальным и наилучшим? Поиск ответов на данные вопросы актуален.

Цели

Ответить на поставленные выше вопросы и по возможности предложить более логичный и общий аналог abc-гипотезы.

Научная новизна

Математическая гипотеза, представляющая собой более общий аналог abc-гипотезы, предложена в данной работе впервые.

Приведем одну из формулировок abc-гипотезы для уравнения:

Формулировка. Для любого ε > 0 существует только конечное число троек взаимно простых натуральных чисел a, b и c, удовлетворяющих уравнению (1), для которых выполняется неравенство:

где rad - радикал (произведение простых делителей) числа.

Смысл данной гипотезы понятен. Два из трех слагаемых уравнения (1) могут иметь сколь угодно сложный вид, например, могут быть числами в больших степенях (например, a = 2¹⁰⁰, b = 3²⁰⁰), но третье число не может одновременно с ними иметь тоже сложный вид. Есть этому предел.

Но единственный ли это вариант сформулировать подобного рода гипотезу? И насколько данный вариант является оптимальным и наилучшим? Попробуем разобраться в данных вопросах. Для начала дадим несколько определений.

Определение. Допустим X = x^α, где X и x - натуральные числа; α - неотрицательное целое число. Тогда число α назовем порядком числа X (ПЧ).

Если x > 1, то ПЧ можно определить по формуле:

Если X = 1 и x = 1, тогда условно ПЧ X будем считать равным бесконечности (α = ∞). Если же X = 1, но x ≠ 1, то согласно уравнению (3) ПЧ X будет равен 0.

Таким образом, число 1 можно представить как число, имеющее ПЧ равный 0, и как число, имеющее ПЧ равный ∞. Остальные натуральные числа будут иметь ПЧ в интервале от 1 и до сколь угодно больших значений.

Определение. Допустим

, где X_i и x_i - натуральные числа; α_i - неотрицательные целые числа. Тогда число α₁ назовем расширенным порядком числа X (РПЧ).

Например, для числа 72 = 2³ ∙ 3² РПЧ равен 2.

Естественно многие числа можно представить как имеющие разный ПЧ или РПЧ, например 16 = 2⁴ = 4² = 16¹. Если брать именно максимальные значения ПЧ и РПЧ, т.е. искусственно их не занижать, то очевидно, что для любого натурального числа ПЧ ≤ РПЧ.

Определение. Допустим X - натуральное число больше 1, тогда

- хитовость числа X (ХЧ). (Название "хитовость" введено по аналогии с мерой хитовости abc-тройки чисел.)

Для числа 1 по определению примем ХЧ равной ∞.

Несложно доказать, что для любого натурального числа выполняется неравенство: ПЧ ≤ РПЧ ≤ ХЧ. Естественно, что все три величины могут принимать сколько угодно большие значения.

Перейдем от отдельных чисел к несоставным уравнениям (данный термин дан в работах [1] и [2]) вида:

где k - количество слагаемых уравнения, k ≥ 2; X_i - взаимно простые натуральные числа.

Определение. Для несоставного уравнения (4) минимальный ПЧ слагаемых называется порядком уравнения (ПУ). (Данное понятие вводилось также в работе [1].)

Определение. Для несоставного уравнения (4) минимальный РПЧ слагаемых называется расширенным порядком уравнения (РПУ).

Определение. Для несоставного уравнения (4) минимальная ХЧ слагаемых называется хитовостью уравнения (ХУ).

Определение. Для несоставного уравнения (4) полной хитовостью уравнения (ПХУ) называется величина, определяемая по формуле:

Несложно доказать, что для любого несоставного уравнения (4) выполняется неравенство: ПУ ≤ РПУ ≤ ХУ ≤ ПХУ.

Каждая из этих четырех величин представляет собой степень α в уравнении:

Для ПУ Итоговое число равно слагаемому уравнения, имеющему минимальную степень (минимальный ПЧ), исходное основание - основанию данной степени.

Для РПУ Итоговое число равно множителю слагаемого уравнения, имеющему минимальную степень (минимальный РПЧ), исходное основание - основанию данной степени.

Для ХУ Итоговое число равно слагаемому уравнения, имеющему минимальную ХЧ, исходное основание - радикалу данного слагаемого.

Для ПХУ Итоговое число равно произведению слагаемых уравнения, исходное основание - произведению радикалов этих слагаемых.

Исходя из вышесказанного, дадим сразу общую формулировку гипотезы аналогичной abc-гипотезе на случай произвольного количества слагаемых k.

Формулировка 1. Для любого ε > 0 существует только конечное число взаимно простых натуральных чисел X₁, X₂, ..., X_k, удовлетворяющих несоставному уравнению (4), для которых выполняется неравенство:

где Исходное основание, Итоговое число и α(k) определяются исходя из того, какой показатель мы используем: ПУ, РПУ, ХУ или ПХУ. При этом, как видно, α(k) зависит от количества слагаемых в уравнении k.

Приведем в таблице значения α в зависимости от выбранного показателя и k.

Таким образом, α(k) = 2k - 4 - для показателей ПУ, РПУ и ХУ; α(k) = (k² - 4) / 2 - для ПХУ.

Формулировка 2. Для любых взаимно простых натуральных чисел X₁, X₂, ..., X_k, удовлетворяющих несоставному уравнению (4), выполняется неравенство:

где α_max(k) - максимальное значение показателя ПУ, РПУ, ХУ или ПХУ для данного k.

Приведем найденные в данной работе значения α_m_ax в зависимости от выбранного показателя и k.

Сравнивая таблицы 1 и 2, можно сделать предположение, что чем больше количество слагаемых в уравнении k, тем ближе значения α_max к значениям α в таблице 1.

При k = 2 единственное уравнение 1 - 1 = 0 делает значения α_max для всех четырех показателей (ПУ, РПУ, ХУ и ПХУ) равными ∞.

При k = 3 случай показателя ПУ со значением α_max = 2 является ничем иным как гипотезой Била, частным случаем которой является Великая теорема Ферма, подробнее см. в работе [1].

При k = 3 показатель РПУ имеет максимальное значение α_max = 3. Например, в уравнении: 2³∙3⁵∙73³ + 271³ = 919³. Показатель ХУ имеет максимальное значение α_max = 3.099128 - уравнение 2¹⁰∙7 + 5⁷ = 3⁸∙13. Для этого же уравнения показатель ПХУ имеет максимальное значение α_max = 3.980924.

При k = 4 показатель ХУ имеет максимальное значение α_max = 4.094822 - уравнение 2⁹∙3 + 2²² = 5⁷ + 5∙7⁷. Показатель ПХУ имеет максимальное значение α_max = 6,625899 - уравнение 7³ + 2¹¹∙3 + 3¹⁰ = 2¹⁶.

При k = 5 показатель ПУ имеет максимальное значение α_max = 7 - уравнение 2¹³ + 3¹³ + 5⁷ = 2¹⁰ + 6⁸ и уравнение 1 + 7¹⁰ + 18⁷ = 7⁷ + 19⁷ - см. работу [1].

Рассмотрим подробнее только показатель ПУ. Согласно формулировке 1 предлагаемой гипотезы только конечное количество уравнений может удовлетворять неравенству (7). И некоторые из них мы уже приводили. Для k = 2: уравнение 1 - 1 = 0; для k = 5: уравнение 2¹³ + 3¹³ + 5⁷ = 2¹⁰ + 6⁸ и уравнение 1 + 7¹⁰ + 18⁷ = 7⁷ + 19⁷.

Эти три уравнения объединяет то, что они содержат в себе по два слагаемых с одинаковыми основаниями степеней. Если добавить такое условие, что основания степеней у слагаемых не должны повторяться, то мы получим гипотезу, предложенную в работе [1].

Таким образом, предлагаемая в данной работе гипотеза может быть связана с гипотезой, предлагаемой в работе [1]. И вывод зависимости α от k для показателя ПУ (см. таблицу 1) приведен в работе [1]. Вывод такой зависимости для показателей РПУ и ХУ аналогичен.

А для показателя ПХУ вывод такой зависимости можно сделать методом, описанным в работе [2]. Например, рассмотрим случай при k = 3. В качестве a, b и c в уравнении (1) возьмем следующие значения (см. работу [2]):

Т.е. мы будем иметь такое уравнение:

Как показано в работе [2], радикалы a, b и c оцениваются так:

Таким образом, можно оценить произведение этих радикалов:

А произведение чисел a, b и c равно:

Нам нужно сравнить произведение этих чисел с произведением их радикалов в плане показателя степени α:

Таким образом, для значения α будет справедливо следующее неравенство:

Несложно заметить, что при n → ∞ будет α → 2.5. При этом α > 2.5. Это видно из следующих значений α в зависимости от n:

n = 3, α = 2.706777197

n = 4, α = 2.651987514

n = 5, α = 2.599326590

n = 6, α = 2.561272441

n = 7, α = 2.536495865

И т.д.

Поэтому в таблице 1 для показателя ПХУ при k = 3 стоит значение α = 2.5.

Аналогичным образом можно получить значение α для показателя ПХУ при k = 4. В этом случае вместо уравнения (9) мы будем иметь следующее уравнение (см. работу [2]):

Приведем теперь в таблице сравнение abc-гипотезы с предлагаемой в данной работе гипотезой для показателя ПХУ при k = 3:

В данной таблице зеленым цветом отмечены преимущества и красным цветом - недостатки той или иной гипотезы. Как видно, предлагаемая в данной работе гипотеза имеет только лишь преимущества по сравнению с abc-гипотезой.

В предложенной в данной работе гипотезе могут быть использованы не только показатели ПУ, РПУ, ХУ или ПХУ. Данные четыре показателя наиболее логичны и являются основными, но могут использоваться и другие. Например, может еще использоваться показатель похожий на ПХУ, но в котором вместо произведения радикалов слагаемых стоит радикал их произведения.

Также может еще использоваться показатель, в котором вместо произведения слагаемых стоит только максимальное по значению слагаемое. При k = 3 это и будет abc-гипотеза. А при прочих значениях k это будет предложенная в работе [2] abcd-гипотеза.

Таким образом, предложенная в данной работе гипотеза объединяет на первый взгляд несвязанные между собой гипотезы - гипотезу, предложенную в работе [1] (является обобщением Великой теоремы Ферма и гипотезы Била на случай произвольного количества слагаемых уравнения k), и гипотезу, предложенную в работе [2] (является обобщением abc-гипотезы на случай произвольного количества слагаемых уравнения k).

Выводы

1. Для произвольного количества слагаемых уравнения k (k ≥ 2) предложена математическая гипотеза, являющаяся при k = 3 более логичным и общим аналогом abc-гипотезы.

2. Произведено сравнение предлагаемой гипотезы с abc-гипотезой и показаны преимущества первой гипотезы над второй.

Библиографический список:

1. Частухин А. Е. Гипотеза, обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Била. [Электронный ресурс] // SCI-ARTICLE.RU. 2021. URL: https://sci-article.ru/stat.php?i=1629477294 (дата обращения: 22.08.2023).

2. Частухин А. Е. abcd-гипотеза. [Электронный ресурс] // SCI-ARTICLE.RU. 2021. URL: https://sci-article.ru/stat.php?i=1638516830 (дата обращения: 22.08.2023).

3. Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студентов высших учебных заведений. -М.: Издательский центр "Академия", 2008. - 272 с.

4. abc-гипотеза. [Электронный ресурс] // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Abc-гипотеза (дата обращения: 22.08.2023).

Оставить комментарий © Copyright Частухин Александр Евгеньевич (2005pochta2005@mail.ru) Размещен: 29/11/2023, изменен: 29/11/2023. 16k. Статистика. Статья: Естествознание Математика Иллюстрации/приложения: 23 шт. Скачать FB2		Ваша оценка:
Аннотация: В данной работе предложена математическая гипотеза, являющаяся более логичным и общим аналогом abc-гипотезы.

Частухин Александр Евгеньевич : другие произведения.

Более общий аналог abc-гипотезы