Исаев Александр Васильевич

Теория струн в мире... целых чисел? (часть 4)

Проточисла

Выше мы убедились, что нехитрая на вид функция у = 1/lnх имеет фундаментальное значение: площадь (S), заключенная между графиком этой функции и осью абсцисс на отрезке [2; х] численно близка к точному количеству (K) простых чисел на указанном отрезке. Мы будем исходить из того, что на этом факте (S ≈ K) миссия функции у = 1/lnх далеко не заканчивается, ибо эта функция также определена на интервалах (0; 1) и (1; 2), на которых также можно вычислить указанную площадь S. Но теперь эту площадь мы будем отождествлять с некой "энергией" действительных чисел х из интервалов  (0; 1) и (1; 2), причем на каждом из них таких чисел бесконечно много. (Не меньше, чем "обычных" действительных чисел между 2 и бесконечностью? - ответ на этот вопрос сложнее, чем может показаться.)

Рассмотрим числа х из интервала (1; 2), которые назовем проточислами, так как они первичны относительно "обычных" чисел х ≥ 2 (содержащих все простые числа). Для проточисел упомянутая площадь S определяется выражением

S = Li(2) - Li(x),                                                        (60)

где Li(x) = lnlnx + lnx + ... - это интегральный логарифм числа х, так Li(2) ≈ 0,4679. Символ lnlnх - это двойной логарифм числа х, то есть это ln(ln(х)).

При "движении" х (влево) от 2 к 1 площадь S растет от нуля до бесконечности. Значит, S принимает такие же значения, что и в случае х > 2 (при котором S ≈ K), и всякому числовому значению S соответствуют два, скажем, равномощных числа:

- из интервала (1; 2) - это проточисло х = 1 + 1/10^П, (где П > 0),

- из отрезка [2; х] - это "обычное" число Х = 1+10^B, (где В ≥ 0).

Замечание (о чем говорят показатели степени В и П?). Согласно позиционному принципу записи в десятичной системе счисления, если, например, В = 58, то, у числа Х = 10^B за единицей мы напишем 58 нулей: Х = 1000...000, при этом отрезок [1; X] содержит Х = 10^58 целых чисел, которые мы отождествляем с квантами времени - элементарными временными интервалами или просто - эви (в виртуальной космологии 10^58 эви - это около 17 млн. лет). А вот если, например, П = 5, то проточисло будет иметь вид х = 1,00001, в котором нули после запятой мы назовем дырками, а их количество равно П - 1 = 4. Значит, при целых П ≥ 1 параметр П равен (за минусом одной дырки) количеству дырок у проточисла х = 1 + 1/10^П. Например, при П = 10^58 количество дырок у проточисла х будет равно П = 10^58, однако такое проточисло мы не сможем записать на бумаге в виде х = 1,000...0001 (хотя данное проточисло всё ещё бесконечно далеко от единицы!). И если целые числа в виртуальной космологии - это кванты времени, то тогда с чем отождествлять дырки малых проточисел, почти сливающихся с единицей?

В области малых проточисел  (когда П устремляется к бесконечности) стрелки часов нашей Вселенной явно останавливаются и начинается отсчет времени (другой) вселенной, которая прикреплена к нашей. Этот отсчет времени (другой вселенной), возможно, в какой-то мере эквивалентен пересчету дырок у малых проточисел, сливающихся с единицей (с точки зрения "обычных" чисел).

В части "поведения" площади S все проточисла мы разделим на три группы:

         х ≤ 1,1 - малые проточисла (их 10 % и они устремляются к числу х = 1);

1,1 < х < 1,9 - центральные проточисла (они составляют 80% всех проточисел);

1,9 ≤ х          - большие проточисла (их 10% и они устремляются к числу х = 2).

Для малых проточисел применимо разложение логарифма в степенной ряд: lnx ≈ (х - 1), поэтому: ln(1 + 1/10^П) ≈ 1/10^П  и lnln(1 + 1/10^П) ≈ ln(1/10^П) = - П·ln10, а формула (60) преобразуется к следующему виду:              

S ≈ Li(2) - lnlnx - lnx ≈ 0,4679 + П·ln10 - 1/10^П.                        (61)

Относительная погрешность (ОП) формулы (61) при П ≥ 1 такова:

ОП < 0,2∙1/10^П.

При П >> 1 будем полагать S ≈ - lnlnx ≈ П·ln10 ≈ 2,3026·П, что меньше реальных значений и дает нам, скажем, такую погрешность: ОП < 0,21/П.

Таким образом, двойной логарифм lnlnx вблизи (справа) от единицы, подобно сверхмощному микроскопу, "увеличивает" скрытое от нас мизерное приращение аргумента х до видимой нами величины П. Ниже мы убедимся, что проточисло х станет равномощным концу Большого отрезка при П = 10^58, то есть расстояние между единицей и таким х явно "исчезает" за гранью нашего воображения, но при этом количество абстрактных дырок равно ~ 10^58 и они, в некотором смысле, "намотаны" на единицу (аналог некого скрытого от нас измерения в теории струн?).

Когда проточисло х приближается к единице (когда П устремляется к бесконечности), то время в виртуальной космологии останавливается, а площадь S ("энергия" проточисел) устремляется к бесконечности. Поэтому мы можем отождествлять понятия "единица" (из мира Платона, см. на Самиздате мою книгу "Суперструны...", стр. 66) и "чёрная дыра" из реального (физического) мира?

Далее мы будем искать проточисла х = 1 + 1/10^П (их показатели степени П), которые равномощны "обычным" числам Х = 2 + 10^B (их показателям степени В).

Согласно закону распределения простых чисел (ЗРПЧ) из общеизвестной теории чисел мы имеем: K ~ X/lnX. Значит, при больших числах Х (при В >>1) площадь S (напомним, что S ≈ K) растет по закону: S ~ X/lnX ~ 10^B/(B∙ln10), то есть почти как показательная функция S ~ 10^B аргумента В. Подставляя сюда выражение (61) мы получаем, что таким Х будут равномощны следующие малые проточисла х: П ~ [1/(ln10)^2/B]∙10^B или 

П ~ (0,1886/B)∙exp(2,3026∙В).                                          (62)

Параметр П растет медленнее, чем экспонента exp(2,3026∙В), но все равно П растет очень быстро. Например, в конце Большого отрезка Х = 8∙10^60 (В ≈ 61), а равномощное проточисло - это х = 1 + 1/10^П, где П ~  0,0031∙10^61 ≈ 10^58 [и возникает вопрос: коэффициент 0,0031 может превратиться в 0,0073 (то есть в ПТС), если от знака асимптотического равенства (~) перейти к знаку точного равенства (=)?].

Равномощное Большому отрезку (БО) проточисло х содержит П = 10^58 дырок (см. выше моё Замечание), то есть Х/П ≈  5,3019∙61 ≈ 323. Таким образом, на примере БО мы убедились в важном факте: если число Х = 10^B (при В >>1) равномощно х = 1 + 1/10^П, то натуральные числа 1, 2, 3, 4, ..., Х пронумеруют все дырки данного проточисла х:

Х/П ~ B/(ln10)^2 ≈  5,3019∙B.                                          (63)

Пусть число Х равномощно проточислу х. Нетрудно убедиться, что график функции X - 2 = f(х - 1) с логарифмической шкалой по оси ординат - это тильда (см. на Самиздате мою книгу "Суперструны...", стр. 130-134), левый конец которой (при х стремящемся к 1) устремляется почти вертикально вверх (к бесконечности), а правый конец (при х стремящемся к 2) - устремляется почти вертикально вниз (к нулю). Центральную часть тильды (при 1,14 ≤ х ≤ 1,88 и 4,45 ≥ Х ≥ 2,24) неплохо (ОП = Ђ 5%) описывает экспонента (это линии тренда на графике тильды):

X ≈ 2 + 3,795∙exp[- ПИ∙(х - 1)].                                         (64)

Изначально (в силу наших определений) была очевидна качественная картина: с ростом проточисла х (от 1 до 2) равномощное ему число Х будет убывать (от бесконечно большого значения до числа 2). Формула (64) дает нам количественное описание указанного процесса для 74% центральных проточисел.

Для больших проточисел х ≡ 1 + 1/10^П > 1,9 (то есть при П < 0,046) соблюдается следующее эмпирическое равенство (с погрешностью |ОП| < П):

S  ≈ Q∙П,                                                                   (65)

где Q = 3,32192994... (но что это за число?).

Очевидно, что большим проточислам равномощны малые "обычные" числа Х = 2 + 1/10^В (где В ≥ 1), для которых верна следующая эмпирическая формула:

S ≈ Q∙lg(е)/10^В.                                                       (66)

Поэтому для больших проточисел х и равномощных им чисел Х получаем:

П ≈  lg(е)/10^В  ≈  0,4343∙/10^В.                                        (67)  

Итак, если проточисло х равномощно "обычному" числу Х, то тогда:

- у малых проточисел П невообразимо далёк от В;

- у центральных проточисел П соизмерим с В;

- у больших проточисел параметр П сливается с В.

Очевидно, что все проточисла на интервале (1; 2) распределены равномерно. Возьмем проточисло х* = 1,00729735308 (это 1 + ПТС, при этом S ≈ 5,3845, а ПТС - это постоянная тонкой структуры - фундаментальная физическая постоянная, не имеющая размерности), тогда интервал (х* ; 2) содержит (2 - х*)/(2 - 1)∙100% ≈ 99,3% всех проточисел (см. "правило трех сигм" в моей книге на Самиздате "Зеркало" Вселенной", стр. 45). Но проточисло х* равномощно числу Х* = 10,6161...≈ 11, поэтому в рамках виртуальной космологии у меня возникает следующая "бредовая" гипотеза:

отрезок [2; 11] должен содержать... 99,3% всей "энергии" бесконечного ряда "обычных" чисел Х, превосходящих число 2.

Указанную гипотезу (мою рефлекцию) подкрепляют, например, такие факты:

Человечество выбрало (ещё в древности) именно десятичную систему счисления, в которой достаточно десяти символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Полагают, что это связано со счётом на (десяти) пальцах. Однако моя гипотеза интереснее?

Природа отдает явное предпочтение именно малым числам (см. на Самиздате мою книгу "Суперструны...", стр. 155 ).

Экзочисла

При х = 1 функция у = 1/lnх имеет разрыв (ln1 = 0, а деление на нуль невозможно). Действительные числа из интервала 0 < х < 1 мы будем называть экзочислами, так как они являются как бы "внешними" числами по отношению к проточислам и "обычным" числам, расположенными справа от единицы (от таинственного разрыва).

При уменьшении х от 1 до 0 функция у = 1/lnх растет от "минус" бесконечности от нуля. И если избавиться от "минуса" (за счет модуля |lnх|), то можно построить график у = 1/|lnх| в логарифмической шкале по оси ординат. При этом мы увидим тильду с почти вертикальными концами и типичной экспонентой в центре: y ≈ 0,3321exp(2,9805x) при 0,1 ≤ х ≤ 0,7 (это около 60% всех экзочисел).

Для любого экзочисла х мы можем вычислить площадь S, заключенную между графиком функции у = 1/lnх и осью абсцисс на интервале (0; х). Если у экзочисла х и "обычного" числа Х > 2 площади S численно равны, то такие х и Х мы будем называть равномощными (всё аналогично проточислам, см. выше).

Нетрудно убедиться, что для экзочисла х указанная площадь S будет равна (но как это строго доказать?):

S = abs[F(х) - F(0)],                                                   (70)

где abs[...] - это абсолютная величина (модуль |...|) выражения, стоящего в скобках (иначе получим S < 0, что противоречит известному понятию "площадь");

         F(х) = ln|lnx| + sum(Gk), где sum(Gk) - сумма гауссовых слагаемых числа х, то есть для k = 1, 2, 3, 4, 5, ... (до бесконечности) вычисляем Gk = (lnx)^k/k/k!)  (см. выше).

F(0) = - С, где С ≡ 0,577215... - постоянная Эйлера-Маскерони. Величина F(0) - это результат двух процессов (при х стремящемся к нулю):

sum(Gk) устремляется к "минус" бесконечности и

ln|lnx| устремляется к "плюс" бесконечности,

уравнение F(х) = - С имеет такую относительную погрешностью: |ОП| < 0,5∙x.

Вычисления по формуле (70) показывают, что при 0,2 ≤ x ≤ 0,9 для оценки S можно применять совсем простую эмпирическую формулу (|ОП| = 2%):

S ≈ С + 1/(1,5409∙x - 1,818).                                           (71)

Пусть экзочисло х равномощно числу Х > 2. Нетрудно убедиться, что график функции X - 2 = f(х) с логарифмической шкалой по оси ординат - это тильда, левый конец которой (при х стремящемся к нулю) устремляется почти вертикально вниз (к нулю), а правый конец (при х стремящемся к 1) - устремляется почти вертикально вверх (к бесконечности). Центральная часть тильды (при 0,2 ≤ х ≤ 0,9) неплохо описывается экспонентой: X - 2 ≈ 0,02592∙exp(Ф∙х), где Ф = 4,669201 - число Фейгенбаума. Поэтому для 0,001 ≤ х ≤ 0,9 мы получаем такое эмпирическое соотношение (|ОП| = 2,5%):

X ≈ 2 + 0,02592∙exp(Ф∙х).                                              (72)

Наличие указанной тильды подсказывает нам разделить все экзочисла на три группы:

         х ≤ 0,1 - малые экзочисла (их 10 % от всех экзочисел);

0,1 < х < 0,9 - центральные экзочисла (их около 80%);  

0,9 ≤ х         - большие экзочисла (их 10% от всех экзочисел).

Подчеркнем, что экзочисла на интервале (0; 1) распределены равномерно (отсюда и указанные проценты).

В связи с экзочислами можно опять (который уже раз!) увидеть некую "тень" постоянной тонкой структуры (ПТС). Так, если мы возьмем экзочисло х* = 0,99270264692 (то есть разность 1 - ПТС, при этом S ≈ 4,3467), то окажется, что интервал (0; х*) содержит почти 99,3% всех экзочисел (см. "правило трех сигм" в моей книге "Зеркало" Вселенной", стр. 45, 81-84), а само экзочисло х* равномощно числу Х* = 8,2897...≈ 8 (см. мою статью "Магия числа 7"). Из подобных рассуждений в рамках виртуальной космологии напрашивается следующая гипотеза:

отрезок [2; 8] должен содержать 99,3% всей "энергии" бесконечного ряда "обычных" чисел Х, превосходящих число 2.

Возможно, именно поэтому мы наблюдаем в реальном мире явную "любовь" Творца к малым числам (см. мою книгу "Суперструны...", рефлекция 32, стр. 155)

Для центральных экзочисел справедливы также следующие наблюдения.

Центральным экзочислам равномощны обычные числа из интервала 2,02 < Х < 3,80.  

Если экзочисло Хэ и проточисло Хп имеют равные площади S, то такие Хэ и Хп равномощны и связаны между собой некой тильда-функцией: (1/Хэ - 1) = f(Хп - 1), центральная часть которой близка к экспоненте:

(1/Хэ - 1) ≈ 0,0305∙exp[Ф∙(Хп - 1)], где Ф - число Фейгенбаума.

Поэтому Хп = 1,01...1,84 и Хэ = 0,9964...0,3936 связаны между собой таким соотношением (|ОП| = 3%): 

Xэ ≈ 1/{1 + 0,0305∙exp[Ф∙(Xп - 1)]}.                                   (73)

Если брать экзочисла вида Xэ = Xп - 1, то нетрудно убедиться, что для таких Xэ и Xп равенство площадей (Sэ = Sп ≈ 0,6191 - почти "золотое сечение"!) наступает в точке Xэ ≈ 0,63478 (опять "золотое сечение"?), которая равномощна числу Х ≈ 2,4972 (почти число у = 2,718...). Ещё добавим, что центральное экзочисло х ≈ 0,72 (почти "золотое сечение") равномощно числу X = е = 2,718..., роль которого в точных науках трудно переоценить. Таким образом, возможно, что пресловутое "золотое сечение" - это всего лишь некая "тень" числа е в области экзочисел и проточисел (см. мою книгу "Суперструны...", рефлекция 31, стр. 154).

Большие экзочисла удобно представить в виде

х ≡ 1 - 1/10^Э, где Э ≥ 1, а когда Э = 1, 2, 3, 4, ..., то такое (целое) Э - это количество девяток после запятой у экзочисла х. Так, при Э = 1 мы получим экзочисло х = 0,9, порождающее площадь S = 1,78 и равномощное число Х ≈ 4; а при Э = 15 мы получим экзочисло х = 0,999999999999999 с площадью S = 33,96 и равномощное числу Х ≈ 123.

Для больших экзочисел мы найдем площадь S, разложив логарифм в степенной ряд (lnx ≈ х - 1), то есть ln(1 - 1/10^Э) ≈ - 1/10^Э. Поэтому ln|lnx| ≈ - Э∙ln10, а формула (70) примет вид: S ≈ abs(- Э∙ln10 - 1/10^Э + C), откуда получаем:

S ≈ Э∙ln10 - C.                                                          (74)

Относительная погрешность (ОП) этой формулы быстро убывает:

ОП < 0,4∙exp(-2,5∙Э), и уже при Э = 2 (при х = 0,99) мы получим небольшую погрешность ОП = 0,12%.

Теперь нетрудно найти большое экзочисло х (с площадью S ≈ Э∙ln10), равномощное большому "обычному" числу Х = 10^B, у которого В >> 1 и S ~ X/lnX = 10^B/(B∙ln10) (см. выше). Для равномощного экзочисла получаем:

 Э ~ 10^B/[B∙(ln10)^2] = 10^D,                                          (75)

где D = B - (lnB + 2∙lnln10)/ln10, поэтому грубая оценка будет такова: Э ~ 10^B.                                

В конце Большого отрезка S ~ 10^58 (см. выше), и такую площадь порождает число, расположенное вправо от единицы на колоссальном расстоянии Х ~ 10^61. Но такую же площадь S порождает и равномощное экзочисло х, расположенное слева от единицы на невообразимо малом расстоянии L = 1 - x = 1/10^Э, где Э ~ 10^58 (даже L ~ 1/10^58 мы бы уже сочли исчезающее малым, однако речь идет о несоизмеримо меньшем числе L). То есть в рамках виртуальной космологии, очевидно, можно сказать, что слева от единицы (в области больших экзочисел) время почти останавливается, а параметр S - "взрывается" (от значения 2 до 10^58).

Таким образом, большие экзочисла Xэ = 1 - 1/10^Э (где Э >> 1) и малые проточисла Xп = 1 + 1/10^П (где П >> 1) равномощны одинаковым числам Х [см. формулу (62)]. Значит, можно говорить, что такие Хэ и Хп равномощны между собой. Всё выше сказанное о малых проточислах, вероятно, относится и к большим экзочислам, однако вместо "дырок" у них фигурируют "девятки" после запятой (в десятичной записи чисел Хп и Хэ), то есть Хэ ≈ 1/Хп. Возможно, что экзочисла - это мир, который является обратным относительно мира проточисел (и мира "обычных" чисел).

Малые экзочисла, согласно формуле (70), порождают площадь S, которая, как нетрудно убедиться, численно устремляется к значениям S* ≡ |x/(lnx -1)| (при х стремящемся к нулю). Но такой же формулой (правда, без модуля |...|) описывается и приближение Чебышева (см. выше): K ~ X/(lnX - 1), где K - это количество простых чисел на отрезке [2; Х], причем K ≈ S (площадь под графиком...). "Слияния" числовых значений S (равных K) и S* можно описать так: ОП = (S - S*)/S < 0,25/|lnx|^1,5. Таким образом, у малых экзочисел (при х стремящемся к нулю) площадь S убывает по закону, который у "обычных" чисел (при Х стремящемся к бескнечности) описывает рост площади S. Это интересный факт виртуальной космологии, очевидно, имеет реальные аналогии: микромир и макрокосмос подчиняются одинаковым законам (см., например, теорию струн). 

Поэтому для малых экзочисел х ≡ 1/10^Э (где Э ≥ 1) можно записать:  S ≈ |x/(lnx -1)| ≈ 1/(10^Э∙Э∙ln10). Малые экзочисла будут равномощны  числам Х = 2 + 1/10^В (где В ≥ 1), для которых верна эмпирическая формула:

S ≈ W/10^В,                                                            (76)

где W ≈ 1,4427 [или, возможно, W ≈ 10^(1/2/ПИ) = 1,4426...?].

Поэтому для малых экзочисел х и равномощных им чисел Х получаем:   

В ≈ Э + (lnЭ + lnln10 + ln1,4427)/ln10 ≈ Э + 0,4343∙lnЭ + 0,5214.              (77)

Из формулы (77) вытекает следующая грубая оценка: Э ~ В, а это значит, что расстояние от нуля до малого экзочисла х соизмеримо с расстоянием от числа 2 (от первого простого числа) до равномощного числа Х, то есть: Х ≈ 2 + х.

У проточисел и "обычных" чисел (то есть при х > 1) процесс формирования гауссовой суммы sum(Gk) - это суммирование положительных гауссовых слагаемых Gk = (lnx)^k/k/k!, при этом сумма sum(Gk) быстро достигает некого "предела" (точнее говоря, насыщения), который мы и принимаем в качестве значения sum(Gk).

Принципиально другая картина у экзочисел: при нечетных k = 1, 3, 5, ... мы имеем отрицательные гауссовы слагаемые Gk, поэтому здесь гауссова сумма sum(Gk) испытывает колебания, прежде чем приходит в некое равновесное состояние, которые мы и принимаем в качестве значения sum(Gk).

Причем, для вычисления S ≡ abs(ln|lnx| + sum(Gk) + С), у малых экзочисел (при х стремящихся к нулю) сумма sum(Gk) столь же важна, как и двойной логарифм ln|lnx| (эти два слагаемых сравнимы по величине).

На графике sum(Gk) = f(k) указанные колебания становятся заметными, условно говоря, при х ≤ 0,1 (в линейной шкале по оси ординат), а при х = 0,0001 (ему равномощно число Х = 2,0000068449) уже наблюдается полноценный солитон огибающей, который описывает пространственную локализацию колеблющейся гауссовой суммы sum(Gk), а именно: под указанной огибающей около 7 волн (см. мою статью "Магия числа 7"), сама огибающая при k = 7 достигает наибольшей высоты |sum(Gk)|max ≈ 85 (хотя при k, стремящемся к бесконечности получим площадь всего лишь S ≈ 1/10^5).

Параметр |sum(Gk)|max (наибольшее значение модуля гауссовой суммы) мы будем называть высотой солитона (Hc), а соответствующий порядковый номер k (при котором модуль |sum(Gk)| достигает своего максимума у данного экзочисла х) мы будем называть центром солитона (k*).

При дальнейшем уменьшении экзочисла х солитон огибающей движется и растет в размерах, так, при х = 1/10^7 под огибающей уже 9 волн, высота солитона Нс = |sum(Gk)|max ≈ 33280 (S ≈ 6/10^9), а центр солитона k* = 14.

Где будет центр солитона (чему равен k*) у данного экзочисла х = 1/10^Э?

Здесь уместно заметить, что у экзочисел х ≤ 0,0001 модуль |sum(Gk)| сначала монотонно возрастает, достигая максимума Нс = | sum(Gk)|max при  k = k*, а потом также монотонно убывает, устремляясь к "равновесному" значению. Поэтому ответ на поставленный вопрос можно найти, скажем, исходя из равенства Gk = Gk + 2 при чётном номере k, который, очевидно, и укажет нам искомый k* (k* = k +1, либо k* = k).

Равенство Gk = Gk + 2 означает, что (lnx)^k/k/k! = (lnx)^(k+2) /[(k + 2)(k + 2)!], откуда получаем кубическое уравнение k^3 + 5∙k^2 + [8 - (lnx)^2]∙k + 4 = 0.

Решая это уравнение общеизвестным способом, нетрудно убедиться, что данное уравнение при х < 0,015 (точнее говоря, при Э ≥ 1,82387) всегда имеет три действительных корня (решения): k1 = f1(x); k2 = f2(x); k3 = f3(x), причем всегда: k1 > 1, k2 < 0, k3 < 1. Искомый ответ (центр солитона k*) мы находим путем подбора такого х, чтобы k1 стал целым чётным числом; например, k1 = 12,00 мы получим, если возьмем х = 4,69/10^7, то есть у данного экзочисла х именно при k = k* = 12 будет достигнут максимум:

|sum(Gk)|max = 8250 (это высота солитона у данного х).

Для простоты рассуждений мы будем полагать, что k* = k1 = f1(x) (хотя это не так, см. выше). Если для малых экзочисел х = 1/10^Э, где Э = 2, 3, 4, ..., 307 найти корни k1, то нетрудно убедиться, что центр солитона k* также неплохо будет описывать следующая эмпирическая формула (уходим от кубического уравнения):

k* ≈ - lnx - 2,5   или   k* ≈ Э∙ln10 - 2,5                                   (78)

Номер k*, полученный по формуле (78) будет больше реального центра солитона: |ОП| < 0,2/Э^2 (верно для Э ≥ 12). Любопытно, что все корни нашего кубического уравнения несут некую информацию: сумма корней k1 + k2 устремляется к числу "- 5", а корень k3 указывает на погрешность формулы (79): |ОП| ≈ G∙k3, где коэффициент G убывает от 0,84 (при Э = 2) до 0,22 (при Э = 307), то есть G устремляется к 1/5?

Исследования показывают, что у малых экзочисел х = 1/10^Э (при Э >> 1) можно полагать: Нс = |sum(Gk)|max ≈ 0,5∙|Gk|max. Поэтому, зная центр солитона (k*), можно оценить и высоту солитона: Нс ≈ 0,5∙(lnx)^k/k/k!, где lnx = Э∙ln10 (знак "минус" мы просто отбрасываем) и k = k* ≈ Э∙ln10 - 2,5. Отсюда вытекают такие оценки:

Нс < 10^(Э -1)   и   Нс ~ 10^(Э - 2,5).                                      (79)

Таким образом, можно говорить об "исчезновении" площади (Sх устремляется к нулю) под кривой у = 1/lnх и наличие числового вакуума вблизи нуля, во всяком случае, там отсутствуют "партнеры" простых чисел. Вероятно, глубокий числовой вакуум при больших значениях показателя В (в представлении x = 1/10^B) - это, прежде всего, колоссальные "флуктуации" волн под огибающей виртуального солитона (с высотой Hс ~ 10^B), который относительно медленно (поскольку k* ~ B) "уходит" в бесконечность.

Однако при чем здесь теория струн?

По-моему, всё выше сказанное о мире чисел - это некое своеобразное "отражение" теории струн (её ключевых идей).