Аннотация: Справочник формул - следствий из формулы Циолковского для грубой оценки качества ракет и космических аппаратов
Формула Циолковского.
Некоторые игры с ней.
В 1903 году Циолковский написал свою знаменитую формулу для ракет
V=I*ln((1+Mt/(M0+Mk))=I*ln((M0+Mk+Mt)/(M0+Mk))
где:
M0 - масса полезной нагрузки, кг
Mk - масса конструкций ракеты (баки, двигатели, соединяющие их конструкции), кг
Mt - масса топлива ракеты, кг
I - удельный импульс двигателя, м/с
V - характеристическая скорость ракеты, м/с
Вот только скорость ракеты - не самоцель.
Ибо ракета - это средство транспорта. А скорость для неё - только достаточное условие осуществления рейса из точки А в точку Б.
Поэтому для понимания качества ракеты лучше ввести такое понятие как удельная грузоподъемность (весовая отдача) - отношение массы полезной нагрузки к стартовой массе ракеты.
(Обычно оно буквой "Мю" обозначается, но так как в латинском алфавите её нет, заменим eё P)
P=M0/(M0+Mk+Mt)
А для понимания качества конструкций ракеты - коэффициент конструкций - отношение массы конструкций к массе топлива
K=Mk/Mt
(В литературе часто встречается обратная величина - массовое совершенство - отношение количества топлива к массе конструкций.)
Тогда получится:
P=( (1-K*(exp(V/(n*I))-1))/(exp(V/(n*I))) )^n
где:
V Скорость ракеты м/с
I Удельный импульс м/с
n Количество ступеней ракеты шт. (Все ступени ракеты имеют одинаковый коэффициент конструкций, одинаковую характеристическую скорость и одинаковый удельный импульс двигателей.)
P=M0/(M0+Mк+Mt) Удельная грузоподъемность ракеты
K=Mк/Mt Отношение массы конструкции (баки, двигатели) к массе топлива (Коэффициент конструкций)
V - Потребная характеристическая скорость, м/с
при количестве ступеней ракеты стремящемся к бесконечности
P=1/exp((K+1)*V/I)
Собственно формула Циолковского тогда будет выглядеть так:
V=n*I*ln((1+K)/(P^(1/n)+K))
при количестве ступеней ракеты стремящемся к бесконечности
V=I/(K+1)*ln(1/P)
Приблизительные значения коэффициента конструкций K
K=Mк/Mt Отношение массы конструкции баков к массе топлива
q удельная мощность двигателя (вместе с энергостанцией; по мощности реактивной струи двигателя), Вт/кг
T Потребное время разгона до характеристической скорости, с.
E=q*T - Удельная энергия двигателя, Дж/кг
Фактически - вся энергия, которую двигатель выводит в виде кинетической энергии струи за всё время полета, деленная на массу двигательной установки.
Поэтому удобно использовать единицу измерения Вт*год/кг.
Так как характерные удельные мощности ионных двигательных установок - десятки ватт на кг, а характерное время разгона/полета - годы.
V - Потребная характеристическая скорость, м/с
M0 Масса полезной нагрузки т
Mк Масса конструкций ракеты т
Mt Масса топлива ракеты т
Удельная мощность двигателя вряд ли будет выше 100 Вт/кг (сюда включается масса радиаторов охлаждения и учитывается КПД ионного двигателя и КПД электростанции)
(Для справки: удельная мощность газотурбиного двигателя - около 6 тысяч Вт/кг; для химических ракетных двигателей мощность будет исчисляться мегаваттами на килограмм)
Потребное время определяется задачей полета. Вы ведь не будете ждать 100 лет, пока заправщик разгонится и прилетит к Луне, скажем?
С учетом потребной характеристической скорости получается возможное харатеристическое расстояние, на которое может отлететь ракета без влияния внешних сил.
Для равноускоренного движения (что для ракеты выполняется очень приблизительно, ибо масса ракеты меняется) L=V*T/2
Для каждой удельной энергии двигателя существует оптимальый удельный импульс, при котором удельная грузоподъемность ракеты максимальна.
Для одноступенчатой ракеты:
Оптимальная грузоподъемность ионного двигателя
Оптимальный удельный импульс ионного двигателя
Двигательные установки межпланетных аппаратов Smart-1 и Dawn, данные которых приведены на графиках, несколько не оптимальны.
----------
О коэффициенте конструкций K
Дано:
Цилиндрический бак с полусферическими днищами.
Толщина стенок считается много меньше размеров бака.
L - длина бака, м
D - диаметр бака, м
Ds - диаметр сферического сегмента бака, м
Ds >= D
F - давление в баке (наддув + гидравлическое давление), Па
Наддувом рекомендуется компенсировать давление вышележащих конструкций/топлива/ступеней/груза.
Чтобы не создавать сжимающих напряжений и, тем самым, затрат массы конструкционных материалов для создания устойчивости конструкции.
Sig - допустимое напряжение в материале бака, Па
Ros - плотность материала бака, кг/м3
Rot - плотность содержимого бака, кг/м3
b=L/D - отношение длины к диаметру бака
а - потребное ускорение, которое должен выдержать заполненный бак.
Q - отношение стартовой массы ступени без полезной нагрузки к массе полезной нагрузки ступени.
Найти:
K - отношение массы бака к массе содержащегося в нем топлива.
Ks - отношение массы цилиндрической части бака к массе содержащегося в ней топлива.
Kf - отношение массы сферической части бака к массе содержащегося в ней топлива.
Kfu - отношение массы сферической части бака c переходным отсеком (юбкой) к массе содержащегося в сферической части топлива.
Kfs - отношение массы сферического сегмента бака к массе содержащегося в сферическом сегменте топлива.
Получено:
K=2*(F/Sig)*(Ros/Rot) (При оптимальном диаметре полусферических днищ)
Ks=2*(F/Sig)*(Ros/Rot)
Kf=1,5*(F/Sig)*(Ros/Rot)
Kfu=4,5*(F/Sig)*(Ros/Rot)
Kfs=3*(F/Sig)*(Ros/Rot)*((j)^2/2+1)/((j)^2)
где j=Ds/D
Высота сферического сегмента
H=D*(j-((j)^2-1)^0,5)*1/2
При j=2 H=0,134*D
Условные обозначения:
s - толщина стенки цилиндрической бака, м
sf - толщина сферической стенки бака, м
sp - толщина стенки переходного отсека, м
Vss - объем цилиндрической стенки бака, м3
Vsf - объем стенки полусферического днища бака, м3
Vsp - объем стенки переходного отсека, м3
Vs - объем цилиндрической части бака, м3
Vf - объем полусферической части бака, м3
Vfs - объем стенки шарового сегмента бака, м3
V - объем бака, м3
Mss - масса цилиндрической стенки бака, кг
Msf - масса стенки полусферического днища бака, кг
Msp - масса стенки переходного отсека, кг
Ms - масса содержимого цилиндрической части бака, кг
Mf - масса содержимого полусферической части бака, кг
Mfs - масса содержимого шарового сегмента бака, кг
M - масса содержимого бака, кг M=Ms+2*Mf
q - коэффициент к массе стенки цилиндрической части, определяемый соотношением осевых и касательных напряжений в стенке. Имеет значения от 0,5 до 0,433