# Расчёт модуля упругости металлов

Василий Петрович Дорошев

Дорошев В.П.


Расчёт модуля упругости металлов

Сила упругости металлов определяется электрическим взаимодействием катионов кристаллической решётки с газом электронов проводимости. Приращение этой силы ΔFу под действием внешнего давления σ зависит от расстояния между центром катиона и электронным газом. На минимальном расстоянии, равном радиусу катиона r, она максимальна ΔFmax, а на максимальном расстоянии ≈ 0,9a (a - постоянная кристаллической решётки), минимальна ΔFmin.

В связи с этим  закон Гука можно записать

σ= Eξ, = (ΔFу/s)= [√(ΔFmaxΔFmin)/s]ξ = [2ke2/0,9ra3]ξ (1)

где, ξ - относительное удлиннение кристалла;

E - модуль Юнга;

√(ΔFmaxΔFmin) - среднегеометрическая величина приращения силы упругости под действием внешней силы на кристалл;

s = a2 - площадь ячейки кристалла;

a - постоянная кристаллической решётки;

ΔFmax = 2ke2/r2

ΔFmin ≈2ke2/(0,95a)2;

k = 9 109, Нм2/Кл2   - коэффициент пропорциональности для закона Кулона в системе СИ;

e  = 1,6*10-19, Кл - элементарный заряд;

Из (1)

E = 2ke2/0,9ra3 ≈ 51,2*10-29/ra3

где, E, Па;   r, м ;   a, м.

Ниже приведены значения  E для железа, меди, алюминия, никеля, вольфрама,  серебра, золота, свинца, титана. В последней колонке - погрешность расчёта  относительно справочных значений  Ec.

r,пм     a,пм     E,ГПа     Ec,ГПа     %

Fe    77       286          282           210      +34

Cu    73       361          150          110       +36

Al     51       405          150          71       +112

Ni     69       352          170          200        -15

W     66       316          244         360       - 30

Ar    89        408           85          80           - 6

Au    137      407          56          80          - 30

Pl     120      495          35           17        +105

Ti    78         369          130           110      +18

Вывод. Предложенная модель сил упругости  неплохо работает для многих металлов.