# Натуральные числа

Дмитрий Юрьевич Кузнецов

1,2,3,4,5,6,7, и тому подобное

http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/naturale.shtml Natural number, English version


http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/naturalr.shtml Натуральные числа, русская версия (этот текст)


В этой статье предполагается, что булева алгебра (то есть логика) уже успешно постулирована.


Любое множество Np объектов любой природы называется множеством натуральных чисел,

а элементы этого множества называются натуральными числами, если для этого множества приняты перечисленные ниже

аксиомы.


Аксиомы соотношения.

На множестве пар натуральных чисел определены три парные функции соотношения:

"меньше чем", "равенство" и "больше чем". Возможными значениями этих функций являются истина (true) или ложь (false).

Исторически, указатель такой функции ставится между аргументами. При этом, чтобы указывать порядок выполнения операций используются скобки. При этом полная запись операции, слева направо, осуществляется так: открывается скобка, пишется первый аргумент, пишется имя операции, пишется второй аргумент, и скобка закрывается. В тех случаях, когда порядок операций не существенен, скобки могут быть пропущены.


Считается, что для натуральных чисел

a и b, лишь одно из выражений


a < b,


a = b,


a > b


имеет значение "истина", а остальные имеют значения "ложь". При этом


если a=b то b=a,


если a<b то b>a,


если a>b то b<a.


Предполагается, что в любом арифметическом выражении можно заменить любое натуральное число на равное ему, и выражение от этого не изменится. Обычно в математике операция равенства и для других объектов определяется так, чтобы выполнялось это свойство. Для натуральных чисел a, b и c постулируются следующие свойства:


если a = b и b = c , то a = c;


если a < b и b < c , то a < c;


если a > b и b > c , то a > c;


По умолчанию, если в тексте встречается логическое выражение, то считается, что оно имеет значение "истина".


Аксиомы единичного инкремента


На множестве Np определена операция единичного инкремента с результатом в Np.


Для этой операции используется имя ++.


По отношению к объекту a , элемент ++(a) называется следующим.


По отношению к объекту ++(a), элемент a называется предыдущим.


Для каждого элемента Np существует, и единственный, следующий.


Если для элемента a множества Np элемент b является предыдущим, и

элемент c тоже является предыдущим, то b = c.


Если для a в множестве натуральных чисел не существует предыдущего элемента, то это число

называется единица; для таких элементов используется символ "1".

Считается, что в множестве натуральных чисел такой элемент, то есть единица, существует и единственен

(то есть все единицы считаются эквивалентными, "равными").


Если a = ++(b) и a = ++(c) то b = c .


Аксиомы суммирования.

Для любых элементов a и b множества Np определена операция суммирования с результатом в этом же множестве.

Результат этой операции обозначается summation(a,b) или (a+b).

Для любых элементов a, b и c множества Np, имеют место следующие соотношения:


++(a)=a+1


a+b>a


a+b=b+a


(a+b)+c= a+(b+c)


Если a = b+c и a = d+c, то b = d.


Аксиомы умножения:

Для любых элементов a и b множества Np определена операция умножения с результатом в этом же множестве.


Эта операция обозначается product(a, b) или (a * b).


Для любых элементов a, b и c множества Np, имеют место следующие соотношения:


a*1=a


a * b =b * a


(a+b)+c= a+(b+c)


Если a = b*c и a = d*c, то b = d.


Аксиома дистрибутивности:

Для любых элементов a, b и c множества Np, имеют место следующее соотношение:


a*(b+c) = a*b+a*c)


Интересно, что симметричное выражение, котоеое имелось бы для булевских переменных, то есть


a+(b*c) = (a+b)*(a+c)


не выполнено: оно бы означало, что


a=(a*a)+ (a*b)+(a*c) ,


давая противоречие с допущением о том, что для любых натуральных чисел a и a выражение

a<a+d) имеет значение "истина".


Имена.

Многие натуральные числа имеют устоавшиеся обозначения, имена. Некоторые из них определяются следующими выражениями:


2 = ++(1)


3 = ++(3)


4 = ++(4)


5 = ++(5)


6 = ++(6)


7 = ++(7)


8 = ++(8)


9 = ++(9)


The commonly accepted is the Arabic (Arameic) system of generation of such names.

The description of this system requires the extension of the set of natural numbers

to integers or, at least to the non-negative integers.!-->

Имеются специальные правила для генерации имен натуральных чисел, больших 9.

Наиболее распространена Арабская (Арамайская) позиционная система записи таких чисел.


Использование натуральных чисел.


Обратные операции. Операци "--" "-" и "/" определяются таким образом:


Для натурального числаa, предшественник c = --(a) есть такое натуральное число,

для которого ++b = a .


Для натуральных чисел a и b, разность c= a-b есть такое натуральное число, что

c+b=a .


Для натуральных чисел a и b, отношение c= a/b есть такое натуральное число, что c*b=a .


Теоремы


Относительно целых чисел имеется много теорем; многие из них очень красивы. Для изучения лучше начать с простейших.


Theorem. Разность натуральных чисел a и b является натуральным числом тогда и только тогда, когда

a > b.


Theorem. 2+2=4


Proof. Используя определение символа "2" и Аксиомы , преобразуем левую часть равенства:


2 = ++1 = 1+1


2+2 = 2 + (1+1) = (2+1)+1 = 3+1 = ++(3) = 4


Theorem. 2*2=4


Proof. Используя определение символа "2" и Аксиомы , преобразуем левую часть равенства:


2*2 = (1+1)*2 = 1*2 + 1*2 = 2+2


Из предыдущей теоремы получаем, что 2*2=4.


В качестве теорем можно оформитъ таблицу сложения и таблицу умножения, которые дети в школах заучивают наизусть (как и аксиомы Эвклида), вместо того, чтобы доказывать.


Специальный раздел математики посвящен проблеме делимости, то есть условиям того, что в множестве нарутальных чисел

существует отношение натуральных чисел. Если для натуральных чисел a и b существует натуральное число a / b , то говорят, что a делится на b "нацело".


В качестве упражнения можно также попытаться построить объекты, удовлетворяющие вышеприведеным аксиомам, но противоречащие некоторым общепринятым концепциям. Одна из таких попыток описана в статье

Число Мизугадро.

Пересмотра системы аксиом и, вероятно, аксиом о натуральных числах, требуют также некотрые физические или экономические гипотезы. В качестве примеров можно указать финансовые пирамиды (которые, согласно заявлениям организаторов, обогащают всех ее участников, нарушая закон сохранения количества денежных знаков) и

инерциоиды (которые, согласно заявлениям, сохраняют некоторые физические концепции, но нарушают Закон сохранения импульса). Автор словаря считает финансирование исследований таких гипотез жульничеством.


В качестве упражнения можно также попытаться уменьшить количество этих аксиом, заменяя некоторые из них теоремами.

В принципе, некоторые из вышеперечисленных постулатов можно было бы заменить на теоремы, но для приложений матана и физики (для которых, собственно, и строится настоящий словарь) такой категоричный (и слегка догматичный) подход оправдан.


Заключение.


Аксиомы о свойствах натуральных чисел по отношению к сложению и умножению иногда называют также аксиомами арифметики.


Многие из постулированных выше соотношений имеют место и для более сложных объектов - для целых чисел, для рациональных чисел, для вещественных чисел, для комплексных чисел и т.д.


Новые объекты в математике обычно либо постулируют (задают их свойствами), либо строят из более простых.

Целые числа можно построить как пары натуральных.


Рациональные числа можно построить как пары целых целых.


Вещественные числа можно построить как фундаментальные последовательности рациональных.


...


Построения с какими-либо совсем общими объектами, то есть без указания их свойств, например, "множество всех множеств", как и иные "всеобщие" концепции (например, "закон о переходе количественных изменений в качественные", который применим "всегда и везде") в математике не используются, так как они не удовлетворяют требованию ограниченности области применимости

(см. статью Наука).


Эта статья была спровоцирована читателями, которые упоминают математические статьи, но не могут привести ни одного примера статьи, которую они читали; а также указывают, что утверждение 2+2=4 доказано математически, но не могут назвать аксиомы, которые требуются для такого доказательства. В настоящем словаре термин доказательство применяется не только к математическим утверждениям, но я стараюсь использовать этот термин в значении, максимально близком к математическому. Я ценю комментарии читателей, но все же прошу их указывать систему постулатов, использованную для доказательства, то есть

концепцию, в рамках которой доказательство имеет смысл, каждый раз, когда читатель называет какое-либо заявление или рассуждение "доказательством". В порядке упражнения в доказателствах, читателям предлагается уменьшить количество аксиом

(по сравнению со списком этой статьи), необходимых для доказательства соотношения 2+2=4.


Внешние линки:


http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html


http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number


http://en.citizendium.org/wiki/Natural_number


http://en.citizendium.org/wiki/Mizar_%28software%29


http://www.youtube.com/watch?v=X2hN8w26SVU Islam is the only true religion... (2+2=4)


Тексты в Вере по сходным темам


http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/naturale.shtml Natural bumbers, English version of this article


http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/proofr.shtmlдоказательство


http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/conceptr.shtml концепция


http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/mathematicsr.shtml Математика


http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/hayka.shtml Наука, система опровержимых концепций


http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/ackermannr.shtml Функция Аскерманна


http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/mizugadro.shtml Число Мизугадро


http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/000abc.shtml Алфавитный указатель текстов Веры


http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/002vera.shtml О текстах Веры


Copyleft 2010 by Dmitrii Kouznetsov. Этот текст допускает свободное использование. Пожалуйста, указывайте источник (а то иначе если терминологическая путаница, то концов не найти):

http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/naturalr.shtml