# Головоломки Сэма Лойда, новые решения

Владимир Ляксандрыч Махровый

Прекрасное времяпровождение для пионеров и пенсионеров Головоломки Сэма Лойда Представлено более 50-и новых решений.Редакторы изданий книг Сэма, обратите внимание.

ПРЕДИСЛОВИЕ


Головоломки и задачи Сэма Лойда из книги "Математическая мозаика" "Мир", Москва, 1980г. В книге 280 головоломок. Книга хорошая, хотя и встречаются опечатки. Удивление вызывает обложка - на ней даны три рисунка представляющие собой решения трёх головоломок. Иначе, как глупым такое решение оформителя и не назовёшь. Нет оглавления, где бы были перечислены все задачи. Оно необходимо для быстрого поиска нужной головоломки, если забыл её номер.

Я решил половину головоломок. Список решённых головоломок приведён в конце статьи. Мои решения (иногда и ответы) для некоторых головоломок отличны от решений автора книги Сэма Лойда (далее Сэм) и редактора книги Мартина Гарднера (далее М.Г.). Эти свои решения я и представляю в данной статье.

Сами тексты головоломок и их решения можно увидеть по адресу:


https://litresp.com/chitat/ru/%D0%9B/lojd-sem/samie-znamenitie-golovolomki-mira


Головоломки с картинками, по 70-ую включительно, можно увидеть по адресу:


https://www.litmir.me/br/?b=153284&p=1


Последняя цифра в этом адресе - номер страницы.


Знак (*) звёздочка используется для обозначения знака умножения.

Знаки (:) двоеточие и (/) правый слэш используются для обозначения знака деления.


СПИСОК НОМЕРОВ ОРИГИНАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ


9,10,14,23,25,31,32,34,35,36,44,60,61,62,72,73,78,79,80, 96,97,98,103,118,127, 128,129,131,132,150,154,(155),163,164,165,172,175,176,178,179,184,185,198,194,204,207, 218,223,230,233,239,247,251,267,268,275,277,280.


ОРИГИНАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ


N9.Из Биксли в Квиксли.

Вот одна любопытная задача, которую я придумал, пока трясся из Биксли в Квиксли верхом на длинноухом муле. Я спросил дона Педро, моего проводника и уроженца этих мест, который шел впереди и тянул мула за повод, может ли мой скакун двигаться с другой скоростью. Он сказал, что может, но та, другая, скорость гораздо меньше этой, так что я продолжал свое путешествие, не пытаясь ничего изменить.

Дабы подбодрить дона Педро, который в нашем предприятии служил главным двигателем, я сказал, что нам следовако бы заглянуть по дороге в Пиксли и подкрепиться свежей порцией горючего; естественно, с этого момента дон Педро не мог думать уже ни о чём другом, кроме Пиксли.

Проехав 40 минут, я спросил, какой путь мы проделали, на что дон Педро ответил:

- Ровно вдвое меньше, чем отсюда до Пиксли.

Преодолев ещё 7 миль, я спросил:

- Далеко ли до Квиксли?

Он ответил как и прежде:

- Ровно вдвое меньше, чем отсюда до Пиксли.

Ещё через час мы прибыли в Квиксли, что побуждает меня спросить вас, чему равно рсстояние от Биксли до Квиксли?


М.Г.(редактор книги) пишет, что Сэм использует в ответе два временных интервала, указанных в условии задачи, но что они на самом деле для решения не нужны и решает задачу своим способом. Я же решил её способом, которым, возможно, решал её Сэма, который мне кажется более общим. Исходя из того, что мул, двигаясь с постоянной скоростью, треть пути до Пиксли прошёл за 40 мин., а треь пути после Пиксли прошёл за 60 мин, делаем вывод, что вторые трети пути были в полтора раза длиннее, чем первые. Первые трети пути приравняем к 1 части, а вторые - к 1,5 частям. Тогда:

7 миль = 5 частей

X(расстояние от Биксли до Квиксли) = 7,5 частей

Пропорция:

7/X = 5/7,5

X = 10,5 миль


N10.Два индюка

Эти два индюка вместе весят 20 фунтов, - сказал мясник,- однако фунт мяса индюшонка стоит на 2 цента дороже, чем фунт мяса крупного индюка.

Миссис Смит купила индюшонка за 82 цента, а миссис Браун заплатила $2 96 центов за большого индюка. Сколько весил каждый индюк?


Появлением этого решения я обязан читательнице Ольге. Она задала вопрос о решении этой задачи в котором не использовалось бы квадратное уравнение. Решение очень простое.

Находим среднюю цену фунта индючатины: (296 + 82)/20 = 18,9цента

Цена индюшонка > 18,9 > Цена индюка. Разница между ними = 2 центам.

Предположим: Цена фунта индюка = 18 центам; цена фунта индюшонка = 20 центам.

Проверим: (296/18) + (82/20) = 20,6 фунта. Это значит, что цены мы занизили. Увеличим цены до18,5 и 20,5 соответственно.

Проверим: (296/18,5) + (82/20,5) = 20 фунтов. Цены верные. Зная цены, наидем, что индюк весил 16 фунтов, а индюшонок - 4 фунта.


N14.Какой величины точильный круг достался второму компаньону?

Два сирийца купили точильный круг. Они решили, что сначала кругом будет пользоваться старший из владельцев, а когда круг умeньшится ровно вдвое, он передаст его второму компаньону.

Круг имел в диаметре ровно 22 дюйма, а в середине его имелось отверстие для оси диаметром 3 и 1/7 дюйма.Чему должен равняться диаметр круга, когда его получит второй компаньон?


Решение Сэма длинное и непонятное.

Моё решение значительно проще. Диаметр круга, который получит второй компаньон можно легко найти если приравнять объёмы той части круга, которая будет сточена первым компаньоном к той его части, которая достанется второму компаньону.Все объёмы представляют собой прямые цилиндры одинаковой высоты, после сокращений получим равенство:

d3×d3 - d2×d2 = d2×d2 - d1×d1

где:

d1 - диаметр отверстия для оси - 3 и 1/7 дюйма.

d2 - диаметр т. круга для второго компаньона.

d3 - наружный диаметр т. круга - 22 дюйма.

Решаем равенство относительно d2 и получаем ответ: d2 = 15 и 5/7 дюйма.


N23.Как разделить заработок?

За 5 долларов Хоббс и Ноббс согласились посадить картошку на поле фермера. Ноббс может засадить кортошкой борозду за 40 минут и с той же скоростью засыпать борозду землёй. Хоббс же способен засадить борозду за 20 минут, но зато, пока он засыпает землёй 2 борозды, Ноббс засыпает целых 3.

Хоббс и Ноббс работали всё время с постоянной скоростью, пока не обработали всё поле. Зная, что на поле сделано 12 борозд, скажите, каким образом следует разделить 5 долларов, чтобы каждый получил свою долю пропорционально проделанной им работе?


Решение Сэма, так мне кажется, страдает отсутствием логики.

Моё решение кажется мне более логичным:

1.Определим производительность работников:

Н - засадить б. - 40мин. или 3/2 б/ч

Н - закопать б. - 40мин. или 3/2 б/ч

Х - засадить б. - 20мин. или 3 б/ч

Х - засыпать б. - 60мин. или 1 б/ч

2.Определим время выполнения всей работы (посадка изасыпка 12 борозд) каждым из работников:

Н - засадить 12 б. - 12:3/2=8ч

Н - закопать 12 б. - 12:3/2=8ч

Нобс один выполнит всю работу за 16ч.

Х - засадить 12 б. - 12:3=4ч

Х - закопать 12 б. - 12:1=12ч

Хобс один выполнит всю работу за 16ч.

Сохранится ли это равенство, если Нобс и Хобс будут работать вместе, каждый на своей половине поля (6 борозд)? Для проверки этого предположения в выкладки пункта 2. вместо 12 б. подставим 6б б. и получим, что каждый из работников справится со своей работой за одно и то же время - за 8ч. Значит, заработок надо поделить между ними поровну.


N25.Чему равна глубина озера?

Поэт Г. Лонгфелло был прекрасным математиком и не раз отмечал, сколь плодотворное воздействие на фантазию студента оказывают привлекательные одежды, в которые, не в пример сухому языку учебников, можно облечь математические задачи.

Задача о водяной лилии - одна из задач, которые Лонгфелло ввел в свой роман 'Каванаг'. Она столь проста, что по силам всякому даже не очень сведущему в математике человеку, но столь ярко иллюстрирует важный геометрический факт, что он становится памятен уже навсегда. Я не помню, как дословно сформулировал эту задачу в нашей беседе Лонгфелло, но суть ее сводилась к следующему. Лилия, на одну пядь поднимавшаяся над поверхностью воды, под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях от прежнего места; исходя из этого, требовалось определить глубину озера.Поэт Г. Лонгфелло был прекрасным математиком и не раз отмечал, сколь плодотворное воздействие на фантазию студента оказывают привлекательные одежды, в которые, не в пример сухому языку учебников, можно облечь математические задачи.

Как это показанона рисунке, лилия на 10 дюймов поднимается над поверхностью воды, а если её потянуть в сторону, то она исчезнет под водой в точке отстоящей на 21 дюйм от того места, где она находилась первоначально. Чему равна глубина озера?


Сэм использовал для решения задачи теорему Эвклида. Я не помню чтобы мы её проходили в школе, поэтому использовал для решения всем известную теорему Пифагора.

На рисунке приведённом Сэмом в ответе обозначим точку пересечения хорд АС и ЕD Буквой B, тогда:


AB = 10

BD = 21

AC = CD = R

BC = R-10

Запишем уравнение для прямоугольного треугольника CBD:

BC*BC + BD*BD = CD*CD

Подставляем и получаем:

R*R - 2*R*10 + 10*10 +21*21 = R*R

20R = 541

R = 27,05

Глубина озера BC = 27,05 - 10 = 17,05 дюймов.


N31.Переправа через реку четырёх ревнивых пар.

Рассказывают, что четверо мужчин отправились со своими возлюбленными на загородную прогулку, но неожиданно у них на пути оказалась река. У берега молодые люди обнаружили лодку, однако она вмещала только двоих. Посреди реки, как вы видите на рисунке, имелся небольшой островок. Все мужчины в компании были страшно ревнивы

Условия переправки ревнивых пар:

1.Никто из мужчин не соглашался, чтобы его будущая невеста хоть ненадолго осталась один на один с другим мужчиной (или мужчинами), если только его самого не будет рядом.

2.Никто из мужчин не должен был также садиться в лодку один, если какая-либо другая девушка, кроме его невесты, оставалась одна на берегу или на острове.


С такими условиями мне, для моего решения, не потребовался остров.

у Сэма - 17 ездок, у меня - 13 ездок (стрелки > < показывают направление ездки); ABCD - мужчины, abcd - девушки:

1.ABCDcd..>..ab

2.ABCDacd.<..b

3.ABCDd...>..abc

4.ABCDad..<..bc

5.ABCD......>..abcd

6.ABCDa...<..bcd

7.BCD.....>..Aabcd

8.ABCD....<..abcd

9.CD......>..ABabcd

10.ACD....<..Babcd

11.D......>..ABCabcd

12.AD.....<..BCabcd

13.0......>..ABCDabcd


Возможно, что здесь дело в переводе. Я пытался посмотреть оригинал в интернете, но там они разрешают предварительный просмотр только до 24 страницы и моя попытка окончилась безрезультатно


N32.Эксцентричный учитель.

Одна из идиотских задач Сэма. Он не менее эксцентричен, чем учитель в этой задаче. Кто это меряет возраст в днях? Только возраст грудничков до месяца меряют в днях! Бред! Конечно же возраст мальчика равен 3,5 годам! В тексте задачи нет указания на измерение возраста в днях.


N34.Кто перетянет канат в последнем случае?

На рис 1 квартет тучных парней тянет с той же силой, что и пятёрка пышных сестёр.

Значит: парень тянет с силой 1/4, а сестра - с силой 1/5.

На Рис 2 дуэт пышных сестёр и тучный парень могут противиться тощим близнецам.

Значит: бизнецы тянут с силой 13/20.

На Рис 3 Тощие близнецы и трио пышных сестёр - ПРОТИВ - одной пышной сестры и квартета тучных парней.

Кто перетянет канат в последнем случае?

Значит: 25/20 - ПРОТИВ - 24/20

Последнее предложение в ответе должно звучать так:

"Таким образом, выиграет левая команда, поскольку её тягловая сила на 1/20 больше, чем у правой команды."

Ответ Сэма: "...1/5..." - неверен! Возможно, что это - ошибка при переводе, или просто опечатка


N35.Каков диаметр футбольного мяча.

Для заказа мяча по почте нам нужно было указать требуемое число дюймов, но мы не знали, идёт ли речь о площади резиновой оболочки или же об объёме воздуха, заключённого внутри мяча. Поэтому мы решили заказать мяч, у которого число квадратных дюймов, выражающее площадь поверхности, равнялось числу кубических дюймов, выражающему объём!

Сумеют ли любители головоломок назвать диаметр заказанного мяча?


Для решения достаточно приравнять выражения для вычисления объёма и поверхности шара (мяча):

4*п*R*R*R/3 = 4*п*R*R;

R = 3; D = 6.

Сэм же затумаивает своё решение школьным доказательтвом вывода формулы для объёма шара.


N36.Сколько акров содержится во внутреннем треугольном озере?

Вопрос, который я хотел бы теперь задать любителям головоломок, состоит в том, чтобы определить сколько акров должно содержаться в треугольном озере, окружённом квадратными полями площадью соответственно 370, 116 и 74 акра.


Решение Сэма оригинально. Такое решение можно было получить идя от ответа к задаче, что доступно создателю головоломки. Моё решение основано на традиционном подходе, См. рис.:


S = c*h/2

Для левого треугольника запишем:

h*h = a*a - (c-d)*(c-d)

Для правого треугольника запишем:

h*h = b*b - d*d

Приравняем правые части выражений и после сокращений получим:

b*b + c*c - a*a = 2*c*d

d = (b*b + c*c - a*a)/2*c

Учитывая, что a*a = 116; b*b = 74; c*c = 370; получим:

d = 164/корень из370.

d*d = 13448/185.

h*h = 74 - 13448/185 = (13690-13448)/185 = 242/185.

h = корень из242/185; c = корень из 370. Подставляем и получаем:

Площадь озера S = корень из 121 = 11акров.


N44.Когда две стрелки сольются в следующий раз.

Часы показывают ровно полдень, так что стрелки слились. Томми как раз и рзмышляет над тем, кода они сольются вновь. (Нас интересует точное время, вплоть до долей секунды)


Решение Сэма просто и элегантно, я же решал академически, напролом.

Vм = 6град./м - угловая скорость минутной стрелки.

Vч = 0,5град./м - угловая скорость часовой стрелки.

Sм = Vм*t - путь минутной стрелки до встречи (в градусах)

Sч = Vч*t - путь часовой стрелки до встречи (в градусах)

Vм*t -360 = Vч *t; или 6*t - 360 = 0,5*t;

t = 65м 27,27С; или 1час 5м 27,27с.


N60.Исчезнувшие пенни

Две подруги продавали на рынке яблоки, когда миссис Смит куда-то позвали. Она попросила подругу миссис Джонс продать за неё остаток яблок.

Оказалось, что у каждой из женщин было одинаковое число яблок, но у миссис Джонс яблоки были крупнее, и она продавала их по 2 штуки за пенни, тогда как яблоки миссис Смит шли по 3 штуки за пенни. Джонс смешала все яблоки вместе и стала продаваать их по 5 штук за 2 пенса.

Когда миссис Смит вернулась на следующий день, все яблоки были проданы, но начав делить выручку они обнаружили, что не хватает 7-ми пенсов.

Предположим, что подруги поделили деньги поровну. Скажите тогда, какуя сумму потеряла миссис Джонс из-за своего неудачного партнёрства?


Мне кажется,что моё решение проще. Обозначим количество яблок у каждой миссис через Х и запишем уравнение:

Х/3 + Х/2 - 2(2Х/5) = 7

Решим уравнение и получим Х = 210 яблок.

Планируемая выручка: миссис Джонс: 210:2=105 пенни; миссис Смит: 210:3=70 пенни.

Общая планируемая выручка 105 + 70 = 175 пенни.

Общая реальная выручка на двоих: (420:5)*2 = 168 пенни.

Разница: 175-168 = 7 пенни

Разделим поровну: 168:2 = 84 пенни.

Недостача у миссис Джонс: 105-84 = 21 пенс.


N61.2.На какое расстояние жираф опередит гиппопатама?

Если в двухмильном забеге жираф может выиграть у носорога 1/8 мили, а носорог способен опередить гиппопотама на 1/4 мили, то на какое расстояние жираф мог бы опередить гиппопатама?


Моё решение проще и логичнее. Если на дистанции в 2 мили носорог опережает гиппопатама на 1/4 мили, то на дистанции в 1 и 7/8 мили он опередит гиппопатама на 15/64 мили. Тогда жираф на дистанции в две мили опередит гиппопатама на 1/8 + 15/64 = 23/64 мили.


N62.Марки на доллар

Ошибка в условии задачи, пропущено тире. Должно быть: "Дайте мне двухцентовых марок, в десять раз больше - одноцентовых, а на остальное - пятицентовых марок."


N72.Дэдвудский экспресс

Поезд доставил в городок 2 ящика для юной леди. Между проводником и шахтёрами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошёл спор.

Дело в том, что проводник хотел взять плату за провоз ящиков согласно прейскуранту - по $5 за кубический фут. А шахтёры утверждали, что по действующим на шахте законам всегда платят за погонный фут.

Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по $5 за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого

Самое странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и замерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены на провоз не отличались даже на тысячную цента: можно было с равным успехом брать по &5 как за кубический так и за погонный фут.

Каковы размеры двух ящиков?

Сэм говорит в задаче о футах, а в ответе у него - дюймы.


Обозначив ребро маленького ящика через Х, а ребро большого ящика через 2*Х, запишем изложенное Сэмом в задании на языке математики:

X + 2*X = X*X*X + 8*X*X*X, после сокращений получим:

1 = 3*X*X,

Х = корень квадратный из 1/3, или Х = 1/1,732 = 0,5773 фута.

2*X = 2/1.732 = 1,1547 фута.


N73.Передвигая одновремённо по два бокала за четыре хода измените их расположение так, чтобы пустые бокалы чередовались с полными. Исходное состояние: 4 полных бокала следом за 4-мя пустыми в одну линию.


Я решил эту задачу за два хода, меняя по два бокала местами, ведь в задаче не сказано, что передвигать необходимо пару рядом стоящих бокалов.

1-й ход: меняем местами первый и восьмой бокалы.

2-й ход: меняем местами третий и шестой бокалы.


N78.Разрежьте квадратную мозаику 5*5 квадратов на минимальное количество частей из которых можно было бы сложить два квадрата.

В данном случае головы не должны быть повреждены, и поэтому разрезать квадрат можно только вдоль линий соединения. Заметим кстати, что студентам, знакомым с задачей Пифагора, не составит большого труда определить, сколько голов должно содержаться в меньших квадратах.


Вот моё решение:


N79.Укажите размеры креста, площадь которого равнялась бы площади остальной части флага.

На датском флаге изображён белый крест на красном фоне; правила требуют, чтобы площадь белого креста составляла ровно половину всей площади флага. Допустим, что длина флага составляет 7 и 1/2 фута, а ширина - 5 футов.


Решение Сэма лаконично, но непонятно. Непонятно также, почему он вёл вычисления с тоностью до пятого(?) знака, возможно ему под руку попал арифмометр. Я же, обозначив через Х толщину креста, написал выражение для вычисления площади креста и приравнял его к половине площади флага:

7,5*Х + 5*Х -Х*Х = (7,5*5)/2; После преобразования получилось квадратное уравнение:

Х*Х - 12,5*Х -18,75 = 0;

Решаем уравнениени получаем ответ:

X = 1,75фута;


N80.Фальшивые весы.

Верблюжью шерсть, используемую при выделке шалей и дорогих ковров, крестьяне обычно продают крупным торговцам при посредстве перекупщиков. Дабы не прогореть, перекупщик никогда не покупает шерсть про запас, однако, как только поступает заказ от торговца, он всегда находит желающего продать шерсть и берет как с покупателя, так и с торговца по 2 % комиссионных, зарабатывая таким образом 4 % на всей операции. Более того, с помощью жульнических манипуляций с весами перекупщику всегда удается увеличить свой доход, особенно если ему попадается неопытный клиент, который доверчив настолько, что верит его словам и клятвенным заверениям.

Я хочу предложить вам одну забавную головоломку, связанную с подобной сделкой, которая показывает, насколько просты методы перекупщика. Приобретая шерсть, перекупщик помещал ее на короткий рычаг своих весов, что давало ему лишнюю унцию шерсти на каждый фунт веса, а продавая шерсть, он менял рычаги местами и недодавал по одной унции на каждый фунт. Благодаря этому он получил лишних 25 долларов.


Моё решение нагляднее, логичнее и проще:

Х - стоимость шерсти

(15/16)*Х - столько денег ушло на покупку шерсти.

(17/16)*Х - сумма полученная перекупщиком от продажи шерсти.

(17/16)*X - (15/16)X = (2/16)*Х = $25 - навар.

Х = $200. Подставляем в первое выражение, получаем:

$187,5 заплатил перекупщик за шерсть.


N96.Разместите уток в пять рядов по четыре в каждом.

Я заметил, что утки над Баззардзским заливом обычно летят двумя рядами с птицами-капралами по сторонам, как показано на рисунке. Поэтому через стаю можно провести три прямые по четыре утки в каждой. И вот однажды я навел ружье вдоль такой прямой из четырех птиц, надеясь уложить одним выстрелом нескольких уток, и спустил курок. Я мог бы на худой конец просто попасть в пару уток, но мое честолюбивое желание сбить либо всех четырех, либо ни одной привело меня к следующему интересному открытию. Как только рассеялся пороховой дым, я увидел, что птицы изменили направление полета. Но что показалось мне действительно странным, так это то, что хотя утки шли на меня тремя рядами по четыре в каждом, удалялись они уже пятью рядами по четыре в каждом. Как именно они перестроились, мне помешал разглядеть дым, однако я заметил, что положение в строю изменило минимальное число птиц.

На рисунке показано 10 уток, приближающихся тремя рядами по четыре утки в каждом. Измените положение минимального числа уток так, чтобы птицы расположились пятью рядами по 4 утки в каждом. Кстати, это позволит вам также узнать, сколько уток из стаи оказалось у меня в ягдташе.


Решение Сэма интересно наличием в нём юмора, но противоречит, как мне кажется, его же фразе:"удалялиь они уже пятью рядами по четыре в каждом". Ведь в его ответе одна утка оказалась у него в ягдаше, значит, на небе её не было.


Моё решение более изящно и не противоречит фразе Сэма - утки удалялись пятиконечной звездой.


N97.По поводу решения Сэма можно сказать: "Ай да Сэм!"

По сущству же можно сказать, что задача составлена некорретно. Быть друзьями ещё не значит быть родственниками. В задаче нет и намёка на родственные отношения между Смитом и Брауном.


N98.Когда часы в следующий раз покажут правильное время?

Часы были пущены в ход в шесть утра после соответствующей церемонии, которой в Швейцарии сопровождалось каждое мало-мальски значительное событие. К несчастью, перепутали при сборке часов шестерни, к которым крепятся стрелки, в результате чего часовая стрелка 'побежала', а минутная стала вращаться с достоинством часовой. Когда о странном поведении часов сообщили больному мастеру, он потребовал, чтобы его поднесли к церкви, дабы он смог все увидеть собственными глазами. Однако благодаря поразительному совпадению, когда мастера доставили на место, часы показывали правильное время. Это так подействовало на старика, что он не смог пережить своей радости. Часы же продолжали вести себя странным образом, и окрестные жители стали считать их заколдованными. Никто не осмеливался не только чинить их, но и чистить. Естественно, часы заржавели, встали и о них забыли, осталась в памяти лишь предлагаемая вам задача.

Если часы были запущены в шесть часов, как показано на рисунке, и если часовая стрелка двигалась в двенадцать раз быстрее минутной, то когда часы в первый раз покажут правильное время?

В отличии от М.Г., который предлагает представить часы с четырьмя стрелками, я предлагаю представить пару часов - одни - правильные, а рядом - "заколдованные". Нам надо определить момент, когда минутная стрелка "заколдованных" часов, вращающаяся со скоростью часовой, покажет то же значение, что и минутная стрелка правильных часов т.е. найти решение вопроса из задачи N44 (см. чуть выше).

Теперь перевернём часы вверх ногами и решим вопрос из задачи N44 для часовых стрелок, одна из которых вращается со скорость минутной. Получим ответ: 7ч. 5м. 27,27с.


N102.Разрежьте этот пряник в форме собачьей головы на две части имеющие одинаковую форму.

На мой взгляд, тут есть только одно решение - применить метод расслоения.:-)))


N118.Обезьяна на верёвке. Что произойдёт с грузом?

1.Задача. "Если к верёвке, пропущенной через блок, подвешен груз, который в точности уравновешивает обезьяну находящуюся на том же уровне на другом конце верёвки, то что поизойдёт с грузом, когда обезьяна начнёт карабкаться вверх по верёвке?" Очень интересная задача.

2.Решение М.Г.. Он делает для простоты предположение, что верёвка и блок невесомы и трение при движении отсутствует. В ответе он заявляет, что независимо от способа передвижения обезьяны (быстро, медленно или прыжками) груз и обезьяна всегда будут находиться на одном уровне и не даёт никаких пояснений.

3.Моё решение.

3.1.Я не согласен с таким ответом при таких допущениях. Ибо при таких допущениях начинает работать закон всемирного тяготения. Если центр тяжести обезьяны в какой-то момент окажется чуть выше центра тяжести груза (для чего обезьяне достаточно поднять вверх лапу), а это возможно, ибо обезьяна и верёвка представляют собой замкнутую механическую систему, то на груз будет действовать большая сила притяжения, а на обезьяну - меньшая, это значит, что на груз будет действовать дополнительная сила направленная вниз, а на обезьяну - вверх, процесс будет развиваться лавинообразно в результате чего груз начнёт опускаться, а обезьяна - подниматься. Если же обезьяна будет спускаться по верёвке, то процесс будет обратным.

3.2.Что же касается последней фразы из ответа М.Г.: "Обезьяна не сможет оказаться выше или ниже груза, даже если она, отпустив верёвку, станет падать вниз, а затем снова за неё уцепится." То на это можно сказать, что в этом случае надо принять допущение об отсутствии атмосферы. Кроме того, обезьяна, остаётся обезьяной, оставив верёвку, она может в свободном полёте изненить конфигурацию (согнуть лапы, расставить их), что автоматически изменит положение её центра тяжести - это будет уже другая обезьяна, котпрая вцепится в верёвку. Она также может изменить положение своего центра тяжести, подтянувшись на лапах после того, как вцепится вновь в верёвку. И то и другое приведёт к запуску вышеописанного (3.1) лавинообразного механизма со всеми присущеми ему последствиями

3.3. Если же не делать допущений предложенных Гарднером, то, когда обезьяна начнёт карабкаться вверх, груз будет оставаться на месте, ибо опять же обезьяна и верёвка представляют замкнутую механическую систему, а изменением силы притяжения в этом случае можно пренебречь.


N127.Сколъко лет Мэри?

Текст задачи

Суммарный возраст Мэри и Энн составляет 42 года, а Мэри вдвое старше, чем была Энн, когда Мэри была вдвое моложе, чем будет Энн, когда Энн станет втрое старше, чем была Мэри, когда Мэри была втрое старше Энн. Сколько лет Мэри?


Моё решение

Запишем текст задачи в другой форме

4)М''' вдвое старше, чем была Э''',

3)Когда М'' была вдвое младше, чем будет Э'',

2)Когда Э'' станет втрое старше, чем была М',

1)Когда М' была втрое старше Э'

Решаем в порядки нумерации

М' = 3Э' разница в возрасте М - Э = 3Э' - Э' = 2Э'

Э'' = 3М' = 9Э'

М'' = 0,5Э'' = 4,5Э'

Э''' = М'' - 2Э' = 4,5Э' - 2Э' = 2,5Э'

М''' = 2Э''' = 5Э'

Таким образом

M = 5Э', a Э = 5Э' - 2Э' = 3Э'

М + Э = 42 = 8Э', следовательно Э' = 5,25 лет

А возраст Мэри = 26,25 лет

Ответ Сэма: возраст Мэри = 27,5 лет. Как он получил этот ответ я не знаю! Можно предположить, что в книге указан неверный суммарный возраст Мэри и Энн. Если предположить, что он равен не 42, а 44 годам, то всё будет нормально.


N128.Усталый Вилли.

Вилли, сезонник, закончивший работу в Джойтауне, отправился в Плезантвилль одновременно с тем, как Дасти Роудс вышел из Плезантвилля. Они встретились в тот момент, когда Вилли прошёл на 18 миль больше, чем Дасти. После расставания Вилли потребовалось 13,5 часов, чтобы добраться до Плезантвилля, а Дасти - 24 часа, чтобы прийти в Джойтаун. Допустим, что каждый из них Шёл с постоянной скоростью. Сколько миль от Плезантвилля до джойтауна?


Моё решение отличается тем, что через Х я обозначил расстояние между двумя городами и сразу получил его значение после решения квадратного уравнения.


Скорость Вилли: VV = (0,5X-9)/13,5

Скорость Дасти: VD = (0,5X+9)/24

Теперь приравняем выражения для времени за которое они прошли свои участки пути перед встречей.

Вот так: (0,5X+9)/VV = (0,5X-9)/VD

Подставляем: (0,5X+9)13,5/(0,5X-9) = (0,5X-9)24/(0,5X+9)

Получаем квадратное уравнение:

Вот оно: 2,625Х*Х - 337,5Х + 850 = 0

Решаем: Х = 126 миль


N129.Чему равна длина проволоки

Воздушный шар был привязан к клубку проволоки, которая имела толщину 0,01 дюйма. Предположим, что клубок имел первоначально 2 фута в диаметре и что проволока была намота так плотно, что в клубке не оставалось зазоров. Чему равна общая длина проволоки?


Сэм объясняет своё неказистое ршение тем, что в нём не используется число пи. Но ведь самое простое решение, а именно: приравнять обьём шара (клубок проволоки) к обьёму цилиндра (проволока) тоже позволяет обойтись без точного значения числа пи, ибо оно (число пи) сокращается.

Обозначим длину проволоки через L.

Решение:

Vпроволоки = п*d*d*L/4; где: d = 0,01дюйма, L=?

Vклубка = п*dш*dш*dш/6; где: dш = 24 дюйма.

Приравниваем и получаем выражение:

L = 4dш*dш*dш/6d*d

Подставляем значения и получаем ответ:

L = 92.160.000 дюймов/


N131.Чему равна ширина реки?

Два парома отчаливают в одно и тоже мгновение от противоположных берегов Гудзона, один паром идёт из Нью-Йорка в Джерси, а другой - из Джерси в Нью-Йорк. Один паром идёт быстрее другого, так, что они встречаются в 720-ти ярдах от ближайшего берега.

Прибыв к месту назначения, каждый паром стоит 10 минут, чтобы дать сойти пассажирам и принять на борт новых людей; затем он отправляется в обратный путь. Паромы вновь встречаются в 400-х ярдах от другого берега. Чему равна ширина реки?


Обозначим ширину реки через L. Время истекшее с момента отправления паромов до первой встречи обозначим через Т1, а время до второй встречи - через Т2. Запишем по два (через Т1 и Т2) выражения для скоростей паромов "а" и "b":

Va 1.) (L-720)/T1 = (2*L-400)/T2 или: 2.) Т2*(L-720) = T1*(2L-400);

Vb 3.) 720/T1 = (L-400)/T2 или: 4.) T2*720 = T1*(L-400);

Сложим равенства 2.) и 4.), получим: T2 = 3*T1; Заменим в равенстве 1.) Т2 на 3*Т1, получим равенство:

3*(L-720) = 2*L-400;

Ширина реки L = 2160-400 = 1760ярдов.


N132.Положите девять спичек так, чтобы получилось десять, и шесть спичек - чтобы получились ничто.

Не мудрствуя лукаво, из девяти спичек я выложил число 10, а из шести - цифру 0. Моё решение тем более правомерно, что в задаче ничего не сказано об английском языке.


N150.Три задачи с греческим крестом.

Моё решение отлично от решения Сэма только в первом пункте. Вот оно:


N154.Сколько лет мисс Покахонт

У фермера Смита и его жены 15 детей родились с интервалом в один год. Покахонт, старший ребёнок, считает, что она в 8 раз старше Капитана Джона-младшего, самого юного из детей.

Сколько лет мисс Покахонт.

Задача очень простая. У меня есть целых два ответа на неё.

1-й ответ: 16 и 2.

2-й ответ: 32 и 4.

Тут всё дело упирается в толкование слов "15 детей родились с интервалом в один год". Если считать, что дети рождались каждый год (временной интервал между рождениями равен 12 месяцам - т.е. одному году), то верен первый ответ, а если они рождались через год (между двумя плодородными годами вклинивался один холостой год), то верен второй. А вот откуда взялся ответ Сэма (24 и3) я не могу понять. Очевидно, дети рождались через 1,5 года, а это не соответствует условию задачи. Остаётся только констатировать некорректную постановку задачи. Возможно также, что это как-то связано с американским законодательством.


N155.Какая бочка осталась?

На продажу выставлены 6 бочек, каждая содержит либо масло, либо уксус.

Oбъем бочек в галлонах: 8;13;15;17;19;31.

Галлон масла стоит вдвое дороже галлона уксуса. Покупатеь приобрёл все бочки, кроме одной, заплатив за масло и уксус по 14 долларов. Какую бочку он оставил?


Сэм даёт только ответ. Привожу своё решение ниже.

Возможны 6 вариантов по 5 бочек. Выписываем их:

1)13+15+17+19+31 = 95

2)8+15+17+19+31 = 90

3)8+13+17+19+31 = 88

4)8+13+15+19+31 = 86

5)8+13+15+17+31 = 84

6)8+13+15+17+19 = 72

Проверяем суммы на делимость на 3.

Это вторая (90), пятая (84) и шестая (72).

Выбираем тот вариант, где треть суммы можно получить на целом числе бочек. Это - пятая строка: 84 : 3 = 28 - это две бочки: 13 + 15 = 28. В этих бочках - масло.

А в бочках 8+17+31 = 56 - уксус.

Осталась бочка вместимостью 19 галлонов.


N163.Сколько весит кубик?

Инспектор Джонс проверявший рычажные весы обнаружил "жульнические" весы. Один рычаг уних был длинней другого, но чаши мошенники сумели подобрать так, что весы находились в равновесии.

Когда инспектор положил 3 пирамидки на чашу длинного рычага, то они уравновесились с 8-ю кубиками на чаше короткого рычага. Но когда он положил 1 кубик на чашу длинного рычага, он уравновесил 6 пирамидок на другой чаше! Полагая, что истинный вес пирамидки составляет 1-у унцию, скажите, чему равен истинный вес кубика? Сколько потребуется пирамидок, чтобы уравновесить 8 кубиков на нормальных весах?


Обозначим: Х - вес кубика; а - длина длинного рычага: b - длина короткого рычага; и запишем уравнения равновесия:

3а = 8Хb уравнение 1

Ха = 6b уравнение 2

X = 6b/a; подставим в уравнение 1, получим:

3аа = 48bb; сократим, извлечём корни, получим:

а = 4b; подставим в уравнение 2, получим:

Х4b = 6b; получим:

Х = 1,5 унций (вес кубика)

8 кубиков на нормальных весах уравновесят 12 пирамидок.


N165.Какова скорость велосипедиста в безветренную погоду?

Велосипедист, двигаясь по ветру, проезжает милю за 3 минуты, а на обратном пути против ветра он преодолевает милю за 4 минуты. Допустим, что он всё время крутит педали с одинаковой силой, тогда сколько ему понадобится времени, чтобы проехать милю при отсутствии ветра?


Тут я должен дать цитату из решения Сэма:

"Обычно, отвечая на вопрос этой задачи, берут среднее арифметическое обеих соростей......Это неверно, ибо ветер помогает велсипедисту только 3 минуты, а мешает ему 4 минуты." Я не знаю кто автор этого бреда, переводчик, редактор, наборщик,сам Сэм, или кто-либо другой , ведь решаем всегда иенно так. Обозначим:

V1 -скорость по ветру:

V2 - скорость против ветра;

V3 -скорость ветра:

V - скорость в безветренную погоду.


V1 = V + V3; V1 = 1/3:

V2 = V - V3: V2 = 1/4: складываем два левых равенства, подставляем в новое значения для V1 и V2 и находим значение для скорости в отсутствии ветра:

V = 7/24 мили/мин; 1 милю велсипедист проедет за 3 и 3/7 минуты.


N172.От Инвернесс до Глазго

Отправляясь из Инвернесс в Глазго, расстояние между которыми составляет 189 миль, я должен был сделать выбор: либо долго петлять по живописной железной дороге, либо трястись на старом громоздком дилижансе. Я выбрал последнее, ибо в этом случае путешествие длилось на 12 часов меньше. И вот тут-то мне и пришла на ум одна из самых интересных, на мой взгляд, головоломок о путешествиях.

Мой дилижанс отправился из Инвернесс в то самое время, когда поезд вышел из Глазго. Когда по пути мы встретились, то наше расстояние от Инвернесс превосходило наше расстояние от Глазго на число миль, в точности равное числу часов, прошедших с начала путешествия.


Расстояние между городами обозначим через S, S=189 миль.

Дилижанс проходит путь S за время t часов;

Поезд проходит путь S за время t+12 часов;

Они встретились через y часов;

Sд + Sп = 189 миль; (1)

Sд - Sп = y миль; (2); Запишем это уравнение в раскрытом виде:

(189/t)*y - (189/t+12)*y = y; преобразуем, получим квадратное уравнение:

t*t + 12t - 2268 = 0; решаем:

t = 42; t + 12 = 54

Запишем уравнение (1) в раскрытом виде:

(189/42)*y +(189/54)*y = 189; решаем:

y = 189/8 = 23,625; подставим значение y и сложим уравнения (1) и (2), получим:

2*Sд = 212,625; Sд = 106,3125;

Sп = S - Sд;

Sп = 189 - 106, 3125 = 82,6875миль


N175.Передвиньте 4 корабля, чтобы получилось 5 рядов по 4 корабля в каждом.

10 боевых кораблей расположевы в два ряда. При подходе неприятеля 4 корабля меняют свои позиции так, чтобы образовать 5рядов по 4 корабля в каждом.


Мой вариант решения:


Первые 6 кораблей остались на месте, а 4 последних - передвинуты.


N176.Разрежьти две доски на части, чтобы составить один круг.

Моё решение представлено на рисунке:

Оно кажется мне логичным, эстетичным и поэтичным.

Глянул в интернет по указанному мной адресу, а там для этой задачи дан ответ на задачу 178. Вот такие пироги! Надо будет добавить решение Сэма (из книги). Вот оно:


N178.Как следует разделить монаду?

Ответить на эти вопросы просто, если хорошо представлять, что это такое - монада. На рисунке видно, что монада - это круг разделённый на две части линией состоящей из двух полуокружностей с радиусом r равным половине радиуса круга.

1.Ответ на первый вопрос понятен из рисунка (красная линия).

2. Ответ на второй вопрос - это диаметр проходящий через точку А ( на рисунке не показан) и делящий верхнюю правую четверть круга на две равные части, ибо площадь верхней половины монады (допустим янь) состоит из этой четверти круга + площадь половины маленького круга с радиусом r (ниже горизонтального диаметра) равная 1/8 большого круга + 1/8 большого круга из верхней левой четверти его, которая получается после вычитания из неё площади половины маленького круга с радиусом r (выше горизотального диаметра).


N179.Далеко ли до Пайктауна?

Одному туристу, попавшему на Дикий Запад, в гостинице сказали, что до Пайктауна он может добраться 4-мя различными способами:

1)доехать дилижансом; при этом будет одна 30-минутная остановка на придорожной станции;

2)дойти пешком; при этом если он отправится из гостиницы одновремённо с дилижансем, то при въезде в Пайктаун дилижаннс опередит его на одну милю;

3)дойти пешком до станции и там сесть в дилижанс; если он выйдет из гостиницы одновременно с дилижансом, то дилижанс приедет на станцию, когда турист пройдёт 4 мили. Но из-за 30-ти минутной остановки он придёт как раз к моменту отправки оттуда дилижанса, так что сумеет сесть на него и далее ехать в Пайктаун;

4)доехать на дилижансе до станции, а остальную часть пути пройти пешком. Этот способ самый быстрый, ибо позволяет туристу прийти в Пайктаун на 15 минут рньше дилижанса.

Далеко ли от гостиницы до Пайктауна?


Моё решение короче и проще. Я думаю, что так задумал сам Сэм. Ведь в ответе приведено решение М.Г.

ГС - путь от гостиницы до станции. СП - путь от станции до Пайктауна.

Исходя из 1) и 2) дилижанс проходит путь СП за время t, а пешеход проходит путь СП-1 (на милю меньше) за время t.

Исходя из 4) дилижанс выходит на 0,5 ч позже пешехода и приходит на 0,25 ч позже. Учитывая, что дилижанс проходит весь путь СП за время t, получаем, что пешеход проходит этот путь за t + 0,25 ч, и что с учётом 2) он проходит 1 милю за 0,25 ч.

Исходя из 3): пешеход пройдёт за 0,5 ч 2 мили и весь путь ГС будет равен 6 милям

Исходя из 4): пешеходу требуется на 0,25 ч времени больше чем дилижансу для пеодоления всего пути СП - это значит, что путь СП вдвое короче пути ГС и равен 3 милям.

Путь до Пайктауна равен сумме ГС и СП. 6 + 3 = 9 милям.

Внимание!В ответе в книге и в интернете есть ошибка. Строку "человек проходит х - 6 миль" надо читать как "человек проходит х - 4 миль".


N184.телеграфные столбы

Однажды я ехал на автомобиле вдоль линии телеграфных столбов длиной 3 и 3/8 мили. С помощью секундомера я определил, что число столбов, которое я миновал за одну минуту, умноженное на 3 и 5/8 равнялось числу миль, которое я проезжал за один час. Допустим, что столбы располагались на равном расстоянии друг от друга и что я ехал с постоянной скоростью. Каково тогда расстояние между двумя соседними столбами?


Обозначим: Х - Число столбов пробегающих мимо автомобиля в минуту.

Y - скорость автомобиля в милях/час.

Х*(29/8) = Y; Преобразуем, получим пропорцию:

Х/Y = 8/29; Это значит, что при скорости 29 миль/час, автомобил проезжает мимо 8-ми столбов, а в час он проедет мимо:

8 * 60 = 480 столбов. А расстояние между двумя столбами будет равно:

29/480 = 0,0604 мили, или 319 футов.


N185.Удивительная ловушка

Попросите ваших приятелей выписать 5 нечетных цифр, сумма которых составила бы 14. Любопытно понаблюдать, как много потратят они времени, решая эту на первый взгляд простую задачу. Однако следует быть внимательным и говорить 'цифры', а не 'числа'.


Моё решение: нет решения у этой задачи. Ибо сумма нечётного числа нечётных цифр всегда даёт нечётное число. Решение Сэма - шутка.


N198.Сколько яиц можно поместить в коробку?

Курица, которую вы видите на рисунке, пытается выяснить, сколько яиц она может снести в коробку так, чтобы в каждом из рядов, включая диагональные, оказалось не более двух яиц. Два яйца уже находятся в коробке, так что на эту большую диагональ яйца больше помещать нельзя.


Мне не известно чем руководствовался Сэм при решении этой задачи, а я решил её очень просто. Положил два яйца в концы второй большой диагонали и поставил крестики в клетки, которые не "нуждались" в яйцах и оказалось что остались пустыми только восемь клеток, в которые я без раздумий и положил яйца, всего их оказалось двенадцать штук


N194.Разрежьте кусок ткани на три части, из которых можно сложить квадрат.

Моё решение второго примера отличается от решения Сэма:


N204.Чему должна равняться ширина полосы?

Так, у одного владельца ранчо в Техасе земли было больше, чем он мог обработать, поэтому он решил сдать в аренду своему соседу половину одного из полей, которое имело в длину 2000 и в ширину 1000 ярдов. Однако из-за некоторых неровностей почвы было решено не делить это прямоугольное поле пополам, а провести вдоль его края полосу постоянной ширины, площадь которой составила бы половину всей площади поля.

Мне кажется, любителям головоломок не составит труда определить длину граничной полосы, проведенной вокруг участка, содержащего ровно половину всего урожая. Существует простое правило, применимое к любому прямоугольному полю.


Сэм считал эту задачу интересной, я же таковой её не нахожу. Она подобна задаче N79 и я решаю её подобным способом - обозначив через Х ширину полосы и приравнивая плошадь полосы к половине площади всего поля.

6000*Х - 4*Х*Х = 1.000.0000;

Преобразуем, получаем квадратное уравнение:

Х*Х - 1500*Х + 250.000 = 0:

Решаем уравнение:

X = 191 ярд.


N207.Ещё три задачи с греческим крестом.

Вот еще три задачи на разрезание, где участвует греческий крест, то есть крест, образованный пятью одинаковыми квадратами. Именно он используется как символ организации Красный Крест.

Мой вариант решения второго примера:

2) разрезать квадрат на 5 частей, из которых можно было бы сшить 2 греческих креста разных размеров;


N218.Индюки против гусей

Ошибка в ответе. Должно быть: Х = 48.


N223.Разрежьте куски, чтобы получился квадрат

Если длина катета треугольного куска равен 1/2 длины стороны квадрата, то возможно частное решение, без разрезания треугольника.


N230.Двадцать конфет

Томми, Уилли, Мэгги и Энн купили на 20 центов 20 конфет. Шоколадные конфеты стоят 4 цента штука, леденцы продаются по цене 4 штуки за цент, а шоколадное дражже стоит 1 цент пара.

Сколько конфет каждого сорта купили дети?


Решение.

Ш - количество шоколадных конфет по 4 ц. за штуку,

Л - количество леденцов по 0,25 ц. за штуку,

Д - количество дражже по 0,5 ц. за штуку.

Для алгебраического решения в этой задаче не хватает данных. Поэтому я использовал для решения комплексный подход: метод подбора + алгебра. Подбирать будем шоколадные конфеты. Дети могли купить 1, 2, или 3 шоколадные конфеты. Предположим, что дети купили 2 шоколадные конфеты на 8 нентов (Ш = 2). Получаем два уравнения:

Л + Д = 18 (1)

0,25Л + 0,5Д = 12 (2)

Решая эту систему уравнений получим Д = 30. Такое значение нам не подходит. Делаем следующий выбор. Дети купили 3 шоколадные конфеты за 12 центов (Ш = 3). Получим 2 уравнения:

Л + Д = 17

0,25Л + 0,5Д = 8

Решая эту систему уравнений, получим Д = 15. Это нам подходит, Л = 2.

Ш = 3, Д = 15, Л = 2.


N233.Сколько частей можно получить с помощью шести разрезов?

Как следует разрезать пирог на максимальное число кусков шестью прямыми разрезами ножа? Чему равно это число?


1 способ. Разрежем пирог на две части, сложим их друг на друга и разрежем пятью прямыми разрезами на 12 частей. Получим 24 куска. Это на два куска больше, чем у Сэма!

2 способ. Разрежем пирог на две части, сложим их друг на друга.

Разрежем эти половинки на две части и получившиеся четвертинки сложив друг на друга разрежем на 9 частей. Получим 36 кусков.

3 способ. Разрежим пирог указанным выше способом на 8 частей, сложим друг на друга и разрежим тремя прямыми разрезами на 6 частей. получим 48 кусков.

4 способ. Разрежим пирог указанным выше способом на 16 частей, затем эту стопку двумя пямыми разрезами разрежим на на 4 части и плучим 64 куска!


N239.Чашки и блюдца

На воскресной распродаже, где всё стоит на 2 цента дешевле, миссис Барджейн купила тарелки, заплатив за них $1,3. В понедельник утром она вернула эти тарелки по обычной цене и обменяла их на чашки с блюдцами. Одна тарелка стоила столько же, сколько и чашка с блюдцем, так что предпреимчивая миссис вернулась домой, имея на 16 предметов больше, чем ранее. Поскольку блюдца стоили только 3 цента, она взяла на 10 блюдец больше, чем чашек. Сколько чашек могла купить миссис Брджейн на воскресной рапродаже за свои $1,3?


1.Обозначим число тарелок купленных в воскресенье и возможное число пар предметов, которые могли быть куплены в понедельник, через Х.

2.В понедельник хозяйка могла бы купить Х пар чашек и блюдец, за (130 + 2X) центов.

3.Однако блюдец было куплено на 10 больше чем чашек.

4.Пар же в понедельник было куплено 0,5Х + 3 за (100 + 2Х) центов.

5.Записываем пропорцию: (0,5Х + 3)/Х = (100 +2X)/(130 + 2X).

6.Перемножаем, получаем уравнение: Х2 + 29X - 390 = 0

7.Решаем уравнение, получаем Х(число возожных пар) = 10.

8.Цена пары (чашки с блюдцем) - 15 центов. Чашки - 12 центов.

9.Цена чашки в воскресенье - 10 центов. Это значит что:

10.Хозяйка могла купить на распродаже в воскресенье 13 чашек.


N247.Разгадайте головоломку Колумба

Этой головоломки нет в интернете, поэтому привожу здесь условие задачи:

Христофор Колумб задал королю Страны головоломок задачу в которой требовалось расположить 9 яиц на столе таким образом, чтобы получилось максимальное число рядов по 3 яйца в каждом прямолинейном ряду. Королю удалось построить 8 таких рядов, но курица уверяла, что любой смышлённый цыплёнок справился бы с задачей лучше.

Я приступил к решению задачи и был рад. когда мне удалось расположить яйца в девять рядов. Я не стал заглядывать в ответ, а попросил сделать это супругу. Она посмотрела и сказала мне, что в ответе фигурирует число 10. Я был немного разочарован., но делать нечего, взялся за гуж - не говори, что не дюж. Попробовал так и этак - ничего не получается, и я оставил свои попытки. Через две недели вернулся к решению головоломки и увидел, что я был на правильном пути. Заглянул в ответ и был удивлён простотой и элегантностью решения Сэма. А потом заметил, что моё решение в точности повторяет решение Сэма.

Замечание для составителей и издателей сборников головоломок. Необходимо так распологать головоломки, чтобы ответы содержащие рисунки не соседствовали друг с другом. Ибо, в противном случае, разглядывая один ответ, невольно взираешь и на другой.

Можно также заметить, что в задачах на разрезание или на расположение фразы типа "минимальное число" "максимальное число" только дезориентируют читателя. Например, читатель что-то разрезал на четыре части, думает, что это и есть минимальное количество, заглядывает в ответ и видит там рисунок, на котором это "что-то" разрезано на 3 части - вся его работа идёт коту под хвост, эта головоломка для него потеряна! Чтобы этого не происходило, надо прямо указывать это минимальное число, а сейчас приходится просить другого человека заглянуть в ответ.


N251.Определите время.

Дженни и Мод разьехались на милю друг от друга по глади замёрзшего озера, а затем решили поменяться местами. Благодаря сильному попутному ветру Дженни добралась до места, где прежде стояла подруга, в 2,5 раза быстрее чем Мод, опередив последнюю на 6 минут. Сколько времени потратила каждая девушка на преодоление мили?

Очень простая задача, и моё решение также очень простое:

Время Дженни Т1 - Х

Время Мод Т2 = 2,5*Х, а с другой стороны Т2 = Х+6; Запишем:

2,5*Х = Х+6, отсюда Х = 4мин.

Т1 = 4мин.

T2 = 10мин.

А вот М.Г.(редактор книги) что-то намудрил:

Пусть время за которое Мод проделала милю равно 1/Х, тогда время Дженни будет равно 1/2,5*Х и мы сможем составить уравнение:

1/Х - 1/2,5Х = 6, отсюда Х = 0,1; время Мод - 10мин; время Дженни - 4мин.


N267.Коровы Джонсона.

Простенькая, но интересная задачка. Фермер Джонсон перепродал пару коров за $210. На одной корове он заработал 10%, а на другой - 10% потерял. Всего доход Джонсона составил 5%. Во сколько первоначально обошлась ему каждая корова?

Решение. Обозначим первоначальные цены на коров через x и y. Запишем систему уравнений:

1,1*х + 0,9*y = 210

1,05*x + 1,05*y = 210

Приравниваем уравнения и получим после преобразований новое уравнение:

1*х = 3*y; записываем его в виде пропорции:

x:y = 3:1; цена одной коровы в три раза больше другой.

210 - это первоначальная стоимость двух коров + 5% прибыли.

200 - это первоначальная стоимость коров без прибыли, отсюда:

Y = 200 : 4 = $50.

X = 50 * 3 = $150.


У Сэма в решении (в книге)_записаны цифры 15 и 50, это, конечно, опечатка.


N268.Найти наибыстрейший путь к флагу.

Это задача о скачках с препятствиями. Как видно на рисунке, изображающем последний участок трассы скачек, финишный флаг развевается в дальнем углу прямоугольного поля (в точке Р), по краю которого проходит дорога (АОР). Один участок дороги (АО) имеет в длину милю, а другой (ОР) - 3/4 мили. По дороге путь до флага составляет 1и3/4 мили, который все лошади могут преодолеть за 3 мин. Однако всадники вольны скакать через поле, но зато скорость по рыхлой почве будет ниже на 25%.

В каком месте одномильного участка пути всадник должен перепрыгнуть через изгородь и ринуться прямо к флагу, чтобы закончить скачку в наименьшее время?


Решение. Обозначим:

Скорость по дороге AOP - V1 = 0,583миль/ мин.

Скорость по полю - V2 = 0,437миль/мин.

Через Х обозначим отрезок пути от начала дороги (точка А) до той точки, когда всаднику будет выгодно перепрыгнуть через изгородь и двигаться по рыхлой почве прямо к флагу.

Время затраченное на весь путь будет описываться функцией:

t = X/V1+{корень из[(1-Х)*(1-X)+0,75*0,75]}/V2;

Подставим значения V1 и V2, получим:

t = X/0,583+[корень из(1,562-2*X+ X*X)]/0,437 (1);

Решение состоит в нахождении минимума функции t. Возможны два варианта решения этой проблемы.

Вариант 1.

Находим производную от функции t и приравниваем её нулю:

t' = 1/0,583+(2X-2)/[0,437*2*корень из(1,562-2Х+X*X)] = 0; преобразуем:

(1-Х)/корень из(1,562-2*Х+X*X) = 0,437/0,583; Вводим числитель левого выражения под корень, получаем:

Корень из [(1-Х)*(1-X)/(1,562-2*Х+X*X)] = 0,749; Избавляемся от корня:

[(1-Х)*(1-Х)]/(1,562-2*Х+X*X) = 0561; Упрощаем, получаем квадратное уравнение:

0,439Х*Х-0,878Х+0,124 =0; Делим на 0,439, получаем:

Х*Х - 2*Х + 0,282 =0; решаем:

Х = 0,15мили.


Я не знаю, каким способом решал задачу Сэм, но М.Г.(редактор книги) даёт подобное решение, с тем отличием, что через Х он обозначил расстояние от точки пересечения всадником изгороди до поворота дороги, которое у него получается равным 0,85мили.

Окончательный результат: 1 - 0,85 = 0,15мили.


Вариант 2.

Он значительно проще первого. Составим таблицу значений функции t, варьируя длину отрезла Х и подставляя eё в формулу (1):

AP; X = 0, t = 2,859мин.

ABP; X = AB = 0,1мили, t = 2,851мин.

ACP; X = AC = 0,2Мили, t = 2,851мин.

ADP; X = AD = 0,3мили, t = 2,862мин.

AEP; X = AE = 0,4мили, t = 2,885мин.

AFP; X = AF = 0,5мили, t = 2,919мин.

И так до AOP, X = 1миля, t = 3мин.

Из таблицы видно, что где-то между точками B и C должен быть минимум функции t. Проверим, подставив X = 0,15:

X = 0,15мили, t = 2,8496мин. Что и требовалось доказать.


N275.Отделите мальчиков от девочек

Вы видите на рисунке, как выстроились в ряд 8 уличных шалопаев и их подруг. Задача состоит в том, чтобы переставить мальчиков и девочек так, дабы 4 солдата оказались с одной стороны, а 4 сестры милосердия - с другой, оставаясь все, как и прежде, в плотном строю. Перестановку следует делать за 4 хода, а каждый ход состоит в передвижении какой-нибудь пары стоящих рядом детей.

Помните: переставлять можно только пару соседних детей, но не детей внутри пары.

Сэм прдлагает решить задачу за 4 хода, я решил её за 3.

Исходное состояние: ABCDEFGH, где: ACEG - мальчики; BDFH - девочки.

1)Переносим пару GH: AGHBCDEF

2)Переносим пару EF: AGEFHBCD

3)Переносим пару CD: AGECDFHB - результат.


N277.Сколько булочек получил каждый ребёнок?

Продавец торговал булочками трёх сортов: штука на пенни, две штуки на пенни и три штуки на пенни. Число мальчиков в его семье равно числу девочек, и вместе они получили 7 пенни. Предположим, что каждый ребёнок получил одинаковое число и одинаковые сорта булочек. Не могли бы вы сказать, сколько булочек получил каждый ребёнок?

Решение Сэма. У продавца было 3 мальчика и 3 девочки. Каждый из них получил по одной булочке, что по 2 штуки на пенни и по 2 булочки, что по 3 штуки на пенни.

Моё решение. У продавца было двое детей: один мальчик и одна девочка. Они получили по 2 булочки, что по пенни за штуку, по одной булочке, что по пенни за две штуки и по 3 булочки, что по пенни за 3 штуки.


N280.Корова Кейси

Фермер Кейси: стояла моя Пеструха на мосту в 5-ти футах от его середины и мирно смотрела вниз. Она заметила поезд, который находился на расстоянии в две длины моста от ближайшего конца этого сооружения и летел прямо на неё со скоростью 90 миль в час. Корова сделала прыжок навстречу приближавшемуся поезду и спаслась, проскочив в одном футе от него

Чему равны длина моста и скорость коровы Кейси?


Х - длина моста

Для первого случая запишем путь пройденный паровозом и коровой:

Sп1 = 2X - 1; Sк1 = 0,5X - 5;

Запишем пути для второго случая:

Sп2 = 3X - 0,25; Sк2 = 0,5X + 5 - 0,25;

Запишем пропорцию: Sп1/Sк1 = Sп2/Sк2;

(2Х - 1)/(0,5Х - 5) = (3Х - 0,25)/(0,5Х + 4,75)

Приводим к общему знаменателю:

(2Х - 1)(0,5Х + 4,75) = (3X - 0,25)(0,5X -5)

Раскрываем скобки, получаем квадратное уравнение:

0,5ХХ - 24,125Х + 6

Решаем квадратное уравнение: Х = 47,999999 = 48 футов

Теперь найдём скорость коровы из соотношения пройденных путей:

Sп1/Sк1 = (2X - 1)/(0,5X - 5) = 95/19 = 5; Скорость коровы в 5 раз меньше скорости поезда: 95:5 = 19 миль/час


СПИСОК НОМЕРОВ РЕШЁННЫХ ГОЛОВОЛОМОК:


2-5,7,9,10,12-15,17,20,22-36,38,39,41-44,49,50,53,55,56,58,60-63,66,67,69,71-73,78-80,82,85,86,90,94,96,98,102-106,116,118,120,125-129,131,132,136-138,140,142-144,147,148,150-157,159,160,162-166,168,170,172,174-176,178-180,182-185,188,189,192,194,197,198,200-202,204-210,212,217-220,222-225,229,230,232-234,236,238-241,243-249,251,252,256-258,261,262,266-270,272,274,275,277,278,280.


Задачи, которые я не решил или поспешил заглянуть в ответ:

1,11,19,48,59,88,97,171.

Занудные задачи, решать которые у меня нет желания: 95,109,141,177,259

Задачи неприятные, решать которые у меня также нет желания:

89,110,111,203,227,242,253,264.