Только что опубликована статья "О понимании Золотого Сечения". И вроде бы сказал всё, что хотел, а мысль не успокаивается, продолжает свой поиск...
Почему задачи на тему числа Ф в "Началах" Евклида - две?
Почему они об одном, но ... - о разном? В одном случае геометрические построения, а другом - пропорция. Почему у одной задачи решение есть, а у другой - нет?
Должен же быть ответ на эти вопросы...
Общие замечания.
Если мы внимательно посмотрим на "Начала" Евклида, перевод с греческого Ф.Петрушевского, изданные в Санкт-Петербурге в 1819 году, то увидим, что там есть то, что потом из текста последующих переводов ушло. Описание чисел. Числа плоские, кубические, ... и "просто" числа.
Вот, что, оказывается, уже почти не учитывает сегодняшний перевод Д.Д.Мордухай- Болтовского. Истории. Хоть и старые задачи, но рассказаны они почти современным языком математики. Нет, это совсем не плохо, но помнить об этом при осмыслении задачи, всё же, не помешает.
В Древней Греции времен Евклида единица, как число, была неделимой. Дробей, как части единицы не существовало. Были отношения целых чисел, как отдельный вид числа.
И потому, когда надо было говорить о "части целого", то прибегали к применению прямой, но, заметим, прямой конечной длины из целого количества единиц нужной размерности, в качестве этого "целого", и уже её делили на "части", естественно, тоже, конечной длины в целых числах той же размерности.
Этот прием позволяет обходиться без дробей и в нашем современном понимании, и всегда оперировать целыми числами.
Вот длина прямой, вот делим её на части, а каждая часть, всё равно, целое число, но часть от всей прямой.