Главный аргумент сторонников лженаучности гомеопатии - отсутствие вещества в гомеопатических разведениях, видимо, берет начало в логике Архимеда.
Сами посудите, логика есть:
Например, для отрезков аксиома Архимеда звучит так: если даны два отрезка, то, отложив достаточное количество раз меньший из них, можно покрыть больший. При этом, взятая кратное число раз, бесконечно малая по-прежнему остаётся бесконечно малой, то есть бесконечно малые не удовлетворяют аксиоме Архимеда.
Утверждение аксиомы Архимеда кажется тривиальным, но её подлинный смысл заключается в отсутствии бесконечно малых и/или бесконечно больших величин.
Причина такого вывода в том, что поскольку в Древней Греции не существовало понятия последовательности, предела последовательности, Архимеду приходилось в каждой конкретной задаче повторять рассуждения заново.
Т.е, не все так просто. И надо принять, что все же есть математические структуры, для которых свойство Архимеда выполняется, их называют архимедовы, например архимедово поле и архимедова группа, а те, для которых не выполняется, - неархимедовые. Соответственно, бесконечно малые и бесконечно большие элементы объединяются под названием инфинитезимальных элементов. Инфинитезимальное преобразование - это тоже самое, что и векторное поле.
Т.е темы о средствах анализа гомеопатических средств лучше рассматривать в бесконечномерном векторном пространстве и в виде топологических групп.
Топологическая группа (непрерывная группа) - это группа, которая одновременно является топологическим пространством, причем именно умножение элементов группы G × G → G и операция взятия обратного элемента G → G являются непрерывными в данной топологии.
Топологическая группа обобщает понятие группы Ли, от которой требуется, чтобы операции умножения элементов и взятия обратного элемента были не только непрерывными, но аналитическимиили голоморфными (для этого на группе вводится не только топология, но и структура аналитического или комплексного многобразия).
Топологические группы не удовлетворяют аксиоме Архимеда, но удовлетворяют принципу переноса - строгому варианту эвристического закона непрерывности Лейбница.
Принцип непрерывности был понят и применен Лейбницем очень широко. Согласно ему, настоящее состояние вещей тесно "примыкает" к их прошлому, связано с ним и вытекает из него, так что оно только исходя из прошлого может быть объяснено.
Непрерывность означает у Лейбница временную и содержательную "взаимосвязь" в смысле логической взаимосогласованности: любая вещь "согласована" с ее прошлым и будущим состояниями, а в данный момент времени - со всеми соседними и далее рас положенными вещами. Различия во временной характеристике вещи означают ее изменение, а измененное пространственное положение в один и тот же временной момент свидетельствует о различиях между сосуществующими вещами.
Короче... На основании принципа непрерывности Лейбниц выдвигает целый ряд тезисов, относящихся к самым различным областям знания - философии, психологии, естествознанию, математике. Равенство в алгебре - это крайний случай неравенства. Прямая линия - это предельный случай кривых, а геометрическая точка - предельный случай минимальных отрезков. Далее приходим к т.н аффинным преобразованиям - точечные взаимно однозначные отображения, и касательным преобразованиям (преобразования кривых на плоскости, при которых две касающиеся друг друга кривые преобразуются в две другие кривые, также касающиеся друг друга). Любое аффинное преобразование пространства может быть определено при помощи невырожденных линейных преобразований координат точек пространства.
Отсюда вывод: лишь метод, которым пользуется анализ бесконечно малых, объясняет с полной ясностью, почему эта бесчисленность определяющих элементов не ведет к уничтожению всякой определенности и почему возможно, наоборот, их сызнова связать в единство геометрического понятия. Просто нужна другая - не только архимедова аксиоматика.
В связи с этим следует отметить, что в одной из систем аксиом действительных чисел, которая была предложена Гильбертом (аксиоматика Гильберта), совокупность действительных чисел определяется как максимальное архимедово упорядоченное поле, то есть упорядоченное поле, удовлетворяющее аксиоме Архимеда (то есть не содержащее инфинитезимальных элементов), которое нельзя расширить до большего архимедова упорядоченного поля.