Иногда трудно себе представить, с какими сильными эмоциями и яркими впечатлениями бывают связаны математические изыскания, так сказать, не совсем нестандартного характера. А разве есть математика стандартная, вполне обычная, причёсанная как бильярдный шар? Все задачи в минуту своего открытия являются новаторскими, и даже выглядят иной раз не совсем прилично, впрочем, как и сам человек в минуту своего рождения.
Новая задача - это всегда как признание в любви... Признание математика в любви к этому миру, признание мира в любви к математику... Это всегда шок, всегда поэзия, жуткий прорыв в музыке, шокирующий авангард в живописи, это... Это как музыка Поля Мориа.
Честно говоря, в то утро, когда всё это произошло, я ни о чём необычном не думал. Я просто решил вспомнить, "чему там равна сумма углов треугольника". А заодно - четырёхугольника, пятиугольника, и так далее... В общем, текли обычные мысли образованного человека, характерные для обычного понедельника, обычной пасмурной погоды и обычного декабря...
Я всегда думаю медленно и редко ("как и все" - по признанию Эйнштейна - "один раз в неделю"), а в то утро особенно. Так я думал...
Думал я так.
Сумма углов треугольника равна числу пи:
S3 = ?
Четырёхугольника:
S4 = 2?
Значит, думаю, общая формула суммы углов N-угольника пишется так:
SN = (N-2)? (1)
Вообще-то, это надо строго доказывать, но в то утро не хотелось. Поэтому я думал так. Вот треугольник:
Хороший 3-угольник, думал я. Но вот не менее хороший вопрос: в какой момент он становится четырёхугольником? Когда мы нарисуем четвёртую сторону? Только тогда? Так просто?
Нет, думаю я, 4-угольком он становится в том момент, когда мы карандашом ставим на рисунке ещё одну точку - четвёртую вершину. Вот так :
Потому что эта 4-ая вершина, хоть и стоит скромно (просто на ещё гладкой, не сломанной стороне треугольника ), но она уже добавляет в сумму внутренних углов ещё один, равный ? :
И лишь потом, когда человек решил, где ему поставить точку-вершину, когда он после этого "сломает" сторону треугольника в этой намеченной им точке, лишь тогда геом. фигура становится похожей на четырёхугольник:
Вот теперь это явно четырёхугольник. Но началось всё с маленькой скромной точки .
Почему, когда мы поставили 4-ую точку, и начали ломать гладкую сторону и делать из неё две новые стороны - почему во время этого процесса сумма внутренних углов не изменяется, это ясно из рисунка:
Красиво, подумал я. Треугольник становится 4-угольником в тот момент, когда это решает человек, а не "сам треугольник"... Какая гуманная филосфия!
Да... Вот так, с помощью рисунков, я доказал себе следующую формулу:
Si+1 = Si + ? (2)
Занимаясь изобразительным творчеством, я понял, что к сумме углов многоугольника по мере увеличения вершин может добавляться лишь ровно по одному пи.
Здорово, логично, красиво! Ну кто сказал, что математика - это не искусство?
2. АРТ-ПРОРЫВ
Далее, искренно желая настоящего арт-прорыва, я начал изучать формулу (1) :
SN = (N-2)?
Скромно и не совсем уверенно, насколько позволяло мне то пасмурное утро, я написал:
S-3 = (-3-2)?
S-3 = -5?
Я почему-то сразу понял, что при отрицательных N ( N - это количество вершин многоугольника) речь идёт о сумме внешних углов многоугольника.
Сумму внешних углов треугольника можно посчитать с помощью рисунка:
сумма внешних =
a1+a2+a3=(2?-b1)+(2?-b2)+(2?-b3)
=6?-(b1+b2+b3)= 6?-?=5?
Правда, со знаком ошибся:
V3 = -5?
Зато легко. Я понял - надо чаще рисовать. Мне это нравится. И польза видна.
Для суммы внешних я ввёл новое обозначение:
VN = (-N-2)? (3)
Кроме того, отдыхая от графики, нашёл полезную формулу. Для любого многоугольника сумма внутренних и внешних углов равна:
SN+ VN = -4? (4)
Потом я подумал, почему сумма внешних отрицательна? И решил: при подсчёте суммы внутренних углов мы вектором-счётчиком проходим угол против часовой стрелки (как и должно быть), а при подсчёте суммы внешних углов мы вектором-счётчиком проходим внешний угол по часовой стрелке, то есть всё так, как на этом рисунке:
А иначе бы не было формулы (4). Всё логично и красиво.
А затем меня потянуло на экзотику. А что, если количество вершин равно нулю?
По формуле (1):
S0 = (0-2) ? = -2?
По формуле (3):
V0 = (0-2) ? = -2?
Но если вершин - нуль, сторон - нуль, то что это за фигура?
Может быть это математическая точка? Но тогда почему у неё есть сумма внутренних углов? Загадка...
Но с другой стороны - раз так написано, значит есть...
Я подулал: путаницу (только в этом вопросе ) создаёт знак Vo.
Если ввести новый параметр:
AN:= |VN| + SN
То можно благодаря ему получить такую таблицу:
A0 = 0
A1 = 2?
A2 = 4?
A3 = 6?
A4 = 8?
...
AN = 2N ?
Из которой становится ясно, что математическая точка (первая строка таблицы) не имеет никакой суммы углов... Тогда я думал, что я прав...
Потеряв всякий мат.интерес к мат.точке (а совершенно зря!), я заинтересовался строчкой 3:
A2 = 4?
Ведь многоугольник с двумя вершинами - это же отрезок прямой линии. Нарисовав его, всё понять про него можно чисто зрительно:
И действительно, из рисунка ясно, что сумма внешних углов равна четырём пи:
V2 = 4?
А суммы внутренних нет вообще.
Правда в знаке я опять ошибся: V2 = (-2-2) ? = -4?
Зато я прав во втором случае: S2 = (2-2) ? = 0
Тут хочется остановиться, задержаться чуток, и мало-мало "побалдеть"... Ведь это здорово! Ведь раньше - я не знал совсем, не ведал и не догадывался, что отрезок прямой - это многоугольник с двумя вершинами, с двумя сторонами...
Ух! Вот это да... Лепота! (но этого слова вы наверно не знаете...) Крутизна, одним словом... Короче, я балдею... (а это вы знаете точно... )
3. И О ГЛАВНОМ...
И тут я задумался. Ведь многоугольник с одной вершиной, с одной стороной тоже есть!
А как же он не может быть? Ведь про него я уже знаю много:
S1 = (1-2)?= -?
V1 = (-1-2)?= -3?
Написав всё это, я ещё не знал, что моя спокойная жизнь находится под угрозой.
Слишком много вопросов сразу появилось. И мои художественные способности тут не помогали. Я изобразил
многоугольник с одной вершиной, с одной стороной:
И как тут считать сумму внутренних? И где здесь сумма внешних?
Одно я понял: если вершина одна, то есть второй нет вообще, значит линия бесконечна...
Ну, нарисовал я такую...
Вот это произведение искусства:
Бесконечная линия задумчиво уходит... куда-то...
4. ПРАВДИВОЕ РАССУЖДЕНИЕ О ЛОГИКЕ ПОСТРОЕНИЯ N-УГОЛЬНИКА
Должен сказать, что для занятия математикой не всегда достаточно одной математики. Иногда к вечным атрибутам - бумаге и карандашу - и мне, и тебе, дорогой читатель, необходимо добавить личность...
В данном случае, к бумаге и ручке, к чёрной доске и белому мелу, к мольберту и к краскам с кистями... необходимо добавить творческую личность Главного Геометра.
Главгеом, он, безусловно, будет рассуждать примерно так...
Итак, чтобы понять формулу
SN= N? - 2?
надо строить логику построения многоугольника с самого начала. Итак, начинаем... Для конкретности возьмём N = 3 (строим треугольник)
Главгеом утверждает, что для того, чтобы построить 3-угольник, надо сначала взять отрезок прямой линии:
затем на этом отрезке надо поставить три точки - три будущие вершины треугольника:
каждая вершина добавит в сумму внутренних углов +? радиан:
То есть, ПЕРВОНАЧАЛЬНАЯ СУММА ВНУТРЕННИХ УГЛОВ ( ДО НАЧАЛА ПОСТОЕНИЯ )
N-УГОЛЬНИКА РАВНА N? :
SN.0 = N?
Но в формуле для SN у нас ещё имеется загадочный "довесок" -2? , который тоже надо красиво объяснить:
SN= N? - 2?
Но мы ведь ещё не закончили построение треугольника! Стороны a, b, c, a' , вращая вокруг вершин A, B, C как вокруг осей, надо сложить в 3-угольник:
в конце этой процедуры сторона a' должна наложится на сторону a .
Начинаем строить :
мы повернули все (вместе) стороны справо от вершины А на угол пи/2.
Далее - поворот вокруг вершины В:
Осталось только повернуть сторону a' так, чтобы она слилась со стороной a :
Кто внимательно следил за всеми "поворотами", тот уже знает, что сумма всех поворотов равна 2?
Но поскольку все наши вращения уменьшали сумму внутренних углов, то сумма внутренних углов стала такой:
3? - 2?
то есть:
S3 = ?
Всё просто. Но зато теперь мы знаем, как на самом деле логически строится формула суммы внутренних углов для любого многоугольника:
SN= N? - 2?
В математике есть два вида знаний: первый - когда человек знает правильную формулу для того, чтобы сделать правильные расчёты, второй вид знаний - когда человек знает метод, как логически вывести нужную правильную формулу.
А есть ещё и третий вид знаний - когда человек знает теорию, из которой можно получить различные методы, из которых можно получать разные формулы...
Кстати, древние мудрые люди, которые тоже любили логику, говорили: "Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать...". Если вы такой же мудрый, то наберите в редакторе Turbo Basic (это язык программирования такой) вот эту программку, и тогда вы всё увидите, и всё поймёте:
'' 17 december 2007, Pavel Sapunov for you
screen 9
xx0=222
yy0=222
line(xx0,yy0)-(xx0-150,yy0),6
line(xx0,yy0)-(xx0+100,yy0),15
delay 1.5
cv14=15
zzz=0.0275
'''''''''''''''' 1
r=140
a=0
do
x= r*cos(a)
y= r*sin(a)*0.74
line(xx0,yy0)-(xx0+x,yy0-y),1
a=a+0.01
x= r*cos(a) y= r*sin(a) *0.74
line(xx0,yy0)-(xx0+x,yy0-y),cv14
delay zzz
loop until a>=3.14/3
'''''''''''''' 2
r1=40
r=r-r1
xx0=xx0+r1*cos(a)
yy0=yy0-r1*sin(a)*0.74
do
x= r*cos(a)
y= r*sin(a)*0.74
line(xx0,yy0)-(xx0+x,yy0-y),2
a=a+0.01
x= r*cos(a)
y= r*sin(a) *0.74
line(xx0,yy0)-(xx0+x,yy0-y),cv14
delay zzz
loop until a>=3.14/3+3.14*0.8
''''''''''''''' 3
r1=86
r=r-r1
xx0=xx0+r1*cos(a)
yy0=yy0-r1*sin(a)*0.74
do
x= r*cos(a)
y= r*sin(a)*0.74
line(xx0,yy0)-(xx0+x,yy0-y),5
a=a+0.01
x= r*cos(a)
y= r*sin(a) *0.74
line(xx0,yy0)-(xx0+x,yy0-y),cv14
delay zzz
loop until a>=2*3.14
end
'' я нарочно не делал цикл от 1 до 3, потому что
'' без цикла проще понять
5. C ОДНОЙ СТОРОНОЙ...
Тем временем, Главный геометр опять ушёл в "начало начал" и нарисовал так:
И дальнейший ход рассуждения вам почти известен. После того, как мы поставили точку-вершину А, сумма внутренних углов (ПЕРВОНАЧАЛЬНАЯ СУММА) стала равна:
S1.0 = ?
А далее - парадокс. Берём сторону a (справа от вершины А) и виртуально вращаем по часовой стрелке на угол 2? до совпадения с самой собой.
При этом, когда сторона а будет проходить через сторону "а штих", то сумма вн.углов будет равна:
S1.1 = ? - ? = 0
А ещё через полоборота:
S1.2 = 0 - ? = -?
То есть, сумма внутренних углов многоугольника с одной стороной (т.е. с 1-й вершиной ) равна :
S1 = -?
Кто-то может сказать: мы ничего не делали, так как все стороны остались там, где и находились до того, как мы начали вращение. Но тут важна не внешняя похожесть, а логика действия. А логика такая: сначала на отрезке прямой мы расставляем вершины - задаём тем первоначальную сумму внутренних углов, а затем, совершая полный оборот (на два пи), соединияем начало отрезка с его концом, за счёт его фигура многоугольника становится замкнутой.
Теперь - контрольный вопрос.
Посмотрите на рисунок
и скажите: почему точка О (точка соответствующая нулю радиан) при вращении стороны а остаётся на месте?
Эта точка относится к шкале измерений, потому она не может перемещаться. При перемещении объектов (геометрических) шкала измерений всегда остаётся на одном и том же месте. Всё логично, однако.
6. НУЛЬ-УГОЛЬНИК. НУЛЬ-ЛОГИКА...
Теперь, я думаю, мы с вами уже ощущаем в себе силу и опыт для того, чтобы рассуждать о случае, когда у многоугольника количество сторон равно нулю.
Рисунков никаких не будет - нуль нарисовать невозможно.
Первоначальная сумма внутренних углов равна:
S0.0 = 0 ? = 0
И это правильно. Нуль - это ничего, никаких сторон, никаких углов.
И так было бы, если бы не было логики. А логика говорит: мы сначала берём отрезок прямой, чтобы из него сделать многоугольник...
Но многоугольник - фигура замкнутая. Чтобы из отрезка сделать замкнутую фигуру надо взять начало и конец отрезка, и, повернув конец на угол 2? , соединить конец с началом.
Скажем так: этого требует логика замкнутости любого многоугольника. И нуль-угольника тоже!
Поэтому :
S0 = 0 - 2? = - 2?
И здесь тоже есть чему удивляться! Мы только доказали, что пустое пространство может быть замкнутым!
Жалко, что увидеть это нельзя! Ведь это было бы круто!
7. ОБ ЭМОЦИЯХ И НЕ ТОЛЬКО...
Случай многоугольника с двумя сторонами теперь не может нас удивить.
И хотя многоугольник с одной стороной и совсем экзотический нуль-угольник нам теперь стали как-то ближе и понятней, но первое впечатление мы всё же помним...
Художники говорят, что первое впечатление - самое верное.
И мне почему-то захотелось зафиксировать это первое...
Напишем формулу суммы внешних углов многоугольника:
VN = (-N-2) ?
и суммы внутренних углов многоугольника:
SN = (N-2) ?
Теперь сконструируем такую функцию W(N) :
W(N) = VN + |SN |
(сумма внешних плюс модуль суммы внутренних )
И вот какие интересные результаты даёт эта простая функция от разных N:
W(0) = 0
W(1) = -2 ?
W(2) = -4 ?
W(3) = -4 ?
W(4) = -4 ?
Вообще, при N>1 :
W(N) = -4 ?
Как видите, в случаях 0-угольника и 1-угольника, удивляться , я бы сказал, дело естественное. Тому есть почти математическое доказательство. Ну... пусть не доказательство, а хотя бы просто математическое подтверждение... Это тоже многого стоит...
