"Все зависит от аксиом", как утверждаете вы. Посмотрим. Если аксиомы часть всего, то значит и аксиомы зависят от аксиом, то есть налицо хотя бы рекурсивная зависимость (самый "слабый" вид зависимости, но это не исключает взаимозависимости аксиом; иными словами - реализации зависимости могут быть разными, важнее всего - принципиальная зависимость) . Уже противоречие, аксиомы независимы по определению. ЗНАЧИТ РАССУЖДЕНИЕ ЛОЖНО, если аксиомы часть всего.
Значит, аксиомы не часть всего, иначе бы они бы зависели от аксиом, а этот случай мы рассмотрели. Если аксиомы не часть всего, то это всё может быть помыслимо без аксиом( по крайней мере в каких-то своих частях). А ведь аксиомы есть невыводимые логические основания для рассуждений, и если от них зависит всё, то оно не может быть помыслимо без аксиом. Опять противоречие. Можно усилить рассуждение и сказать, что если аксиомы не есть часть всего, то должен существовать момент, когда мы в этом уверены, и в этот момент все существует без зависимости от аксиом, иначе бы мы не поняли , что аксиомы не есть часть всего.
Кроме того интересна в этом смысле теорема Гёделя. Первая теорема Геделя утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула. А это и есть случай несводимости к аксиомам, лежащим в основании системы.
На основании теремы Геделя доказывается следующее высказывание:
Всякая достаточно сильная рекурсивно аксиоматизируемая непротиворечивая теория первого порядка неполна. В частности, теорема Гёделя справедлива для каждого непротиворечивого конечно аксиоматизируемого расширения арифметической формальной системы S. (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%93%D1%91%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8F_%D0%BE_%D0%BD%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B5)
Данное утверждение, конечно же, противоречит общему утверждению, что "все зависит от аксиом", так как это утверждение универсально. Теорема Геделя доказывает неверность утверждения "все зависит от аксиом" для частного случая, разрушая тем самым универсальность вашего высказывания.
Кроме того. Рассмотрим вторую теорему Геделя.
"В формальной арифметике S можно построить такую формулу, которая в стандартной интерпретации является истинной в том и только в том случае, когда теория S непротиворечива. Для этой формулы справедливо утверждение второй теоремы Гёделя:
Если формальная арифметика S непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость S.
Иными словами, непротиворечивость формальной арифметики не может быть доказана средствами этой теории. Однако, могут существовать доказательства непротиворечивости формальной арифметики, использующие средства, невыразимые в ней".
Данная теорема говорит о том, что если у нас система построена на наборе аксиом (основ формализации), то непротиворечивость набора аксиом из формализации не вытекает, что значит, что НЕ ВСЁ ( В ДАННОМ СЛУЧАЕ - НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ) зависит от аксиом.
Таким образом, утверждение "всё зависит от аксиом" ложно. Я согласился с ложным утверждением.
Вот так, Я СОГЛАСИЛСЯ С ТЕМ, ЧТО ВЫ НЕПРАВЫ. МОЕ СОГЛАСИЕ ОЗНАЧАЛО, ЧТО ВЫ ПРОИГРАЛИ СПОР.