# Применение инструментов теории вероятности для решения бинарной проблемы Гольдбаха

Валерий Юрьевич Скворцов

Применение инструментов теории вероятности для решения бинарной проблемы Гольдбаха


УДК 511


Ключевые слова: бинарная проблема Гольдбаха.


Аннотация: предложено решение бинарной проблемы Гольдбаха с помощью инструментов теории вероятности.


1. Вначале покажем, что распределение простых чисел может быть объяснено с помощью инструментов теории вероятности.


Поскольку простое число не делится на другие числа, то вероятность какого-либо числа быть простым равна вероятности того, что оно не делится ни на какие меньшие простые числа. Например, вероятность того, что случайно выбранное число не делится на 2, составляет 1/2. С каждым очередным простым числом для всех последующих чисел уменьшается вероятность оказаться простым; составным, соответственно, увеличивается. Например, вероятность того, что число делится на 2 или 3, составляет уже:


(1): 1/2 + 1/3 - 1/2 * 1/3 = 2/3


Обозначим функцию (1) как F(Xi), где F(3) = 2/3/ Соответственно, функция G(Xi) = 1 - F(Xi) будет означать вероятность числа не делиться на Xi и меньшие простые числа. Общий вид указанных функций:


(2): F(Xi+1) = F(Xi) + 1 / (Xi+1) * (1 - F(Xi))


(3): G(Xi+1) = (1 - F(Xi)) * (1 - 1 / (Xi+1)) = G(Xi) * (1 - 1/(Xi+1))


Формула (3) демонстрирует, насколько уменьшается вероятность последующих чисел быть простыми после очередного простого числа Xi+1.


Обратимся теперь к закону (теореме) распределения простых чисел - с позиции теории вероятности он гласит, что вероятность числа на отрезке [1, A] быть простым составляет:


(4): ~ 1 / ln(A).


При сопоставлении формул (4) и (3) оказывается, что они соответствуют друг другу A ~ Xi1,7822 - на графике внизу представлена величина LOG(EXP(1/G(Xi)); Xi) для первых 2800 простых чисел (функции указаны, как в MS Excel):


Из графика видно, что соответствие двух оценок (формул (4) и (3)) - устойчивое. Это доказывает их эквивалентность, а также применимость вероятностного подхода к анализу распределения простых чисел.


Примечание. Мы здесь не анализируем, почему две оценки сошлись именно при A ~ Xi1,7822, а не A ~ Xi2, как следовало ожидать. Углубленное изучение данного аспекта может быть выполнено отдельно.


2. Теперь докажем следующее утверждение: остатки от деления "старших" простых чисел на "младшее" Xi примерно с равной вероятностью распределены между числами {1, 2, ..., Xi-1}.


Сначала разберем это утверждение для простого числа 3. Числа, которые не делятся на 3 (включая составные числа), можно обозначить как 3k-1 и 3k-2 - они по определению равномерно распределены в числовом ряду.


Теперь начнем "очищать" это множество от составных чисел. Числа типа 3k-1, 3k-2 не делятся на 5, если:


-- k = 5t, 5t-1, 5t-2, 5t-4 в первом случае (мы исключили вариант k = 5t-3, поскольку получившееся конечное число 15t-10 делится на 5);


-- k = 5t, 5t-2, 5t-3, 5t-4 во втором случае (исключен вариант k = 5t-1 - также по причине деления конечного числа 15t-5 на 5).


Таким образом, из ряда чисел, не делящихся на 3, числа, делящиеся на 5, исключаются в равном количестве - по одному варианту как для чисел, делящихся на 3 с остатком 2 (3k-1), так и чисел, делящихся на 3 с остатком 1 (3k-2). Поэтому оставшиеся числа могут иметь остатки 1 и 2 все с теми же равными вероятностями - 1/2.


Эти числа при делении на 5 имеют остатки 1, 2, 3 и 4 также с одинаковой вероятностью - 1/4.


Можно видеть, что такое правило действует для любой пары простых чисел и, следовательно, для всех простых чисел. Например, если вместо 5 в указанном выше примере взять любое другое простое число Xi, k будет равно Xi * t - p, где p = {0... Xi-1}, кроме таких p, при которых 3p-1 (для варианта 3k-1) и 3p-2 (для варианта 3k-2) делятся на Xi. Видно, что тут существует также по одному исключенному варианту для каждого остатка, которые не изменят распределения вероятности между этими остатками.


Статистика также это подтверждает - на графике ниже показана частота остатка 2 при делении на 11 первых 2800 простых чисел (согласно доказанному утверждению, она должна быть 1 / (11 - 1) = 10%):


3. Обратимся теперь собственно к решению бинарной проблеме Гольдбаха (любое четное число 2A может быть представлено суммой двух простых чисел Xi и Xt).


Очевидно, что число из ряда (множества) 2A- Xt, где 2A - четное число, а Xt - все простые числа с отрезка [3, 2A], будет делиться на простое число Xi (и в силу этого будет составным), если остаток от деления 2A на Xi будет совпадать с остатком деления Xt на Xi.


Положим, что число 2A делится на 3 с остатком 1. Мы знаем из п.2 (см. выше), что среди простых чисел примерно половина имеет остаток при делении на 3 равный 1. Таким образом, примерно половина чисел из ряда 2A- Xt будет делиться на 3 и, следовательно, будет в силу этого составными. Если в рассмотрение к 3 добавить 5, то формула вероятности делимости числа из ряда 2A- Xt на 3 или 5 будет равна:


(5): 1/2 + 1/4 - 1/2 * 1/4


Видно, что формула (5) в целом аналогична (1), а общая формула будет аналогична (2). В общем виде вероятность того, что число из ряда 2A - Xt не делится на простые числа Xi+1 и меньше его, составляет по аналогии с (3):


(6): G'(Xi+1) > G'(Xi) * (1 - 1 / (Xi+1 - 1))


Примечания. Использование знака ">" вместо "=" здесь объясняется случаями, когда 2A делится на какое-то простое число Xi - в этом случае вероятность деления на Xi некоторого числа из ряда 2A - Xt будет меньше, чем в формуле (5), и составит 1 / (2A) (для случая t=i). в формуле (6) Xi+1 связан с 2A по формуле, выведенной в п.1: 2A ~ Xi+11,7822


Очевидно, что G'(Xi+1) > G (Xi+1), указанному в (3) - на графике ниже показано сравнение обратных функций для первых 2800 простых чисел - разница между ними достаточно устойчива (~1,32):


Учитывая, что согласно п.1 формула (3) эквивалентна формуле закона распределения простых чисел, а формула (6) соответствует формуле (3), то можно утверждать, что распределение простых чисел в ряду 2A - Xt аналогично распределению простых чисел в ряду натуральных чисел - ниже представлена таблица соответствия между ними:


Ряд натуральных чисел {1...2А}


Ряд 2A - Xt


(I) Количество чисел в ряду


2А


2A / ln(2A)


(II) Вероятность числа быть простым


1 / ln(2A)


> 1 / ln(2A)


(I * II) Количество простых чисел в ряду


2A / ln(2A)


?


Следовательно, по аналогии можно сформулировать закон распределения простых чисел в ряду 2A - Xt - количество таких простых чисел может быть оценено как:


(7): > 2A / (ln(2A))2


Поскольку формула (7) в любой точке A имеет значение больше 1, проблема Гольдбаха считается решенной.


Существование такого 2A, при котором выборка (ряд) 2A - Xt не будет включать ни одного простого числа, невозможно по следующим причинам:


-- ряд 2A - Xt формируется только путем выбора 2A, а внутренняя структура распределения простых и составных чисел в этом ряду всегда подчиняется формуле (6) - ни при каком 2A вероятность нахождения простых чисел в ряду не может принять значение нуля;


-- значение формулы (7) равномерно растет при росте 2A, поэтому не может быть такого 2A, при котором указанное значение после достижения существенных величин внезапно обнулится:


Примечание. На графике приведено сравнение значение формулы (7) и реального количества простых чисел в ряду 2A - Xt в зависимости от 2A - видно, что максимальное реальное количество простых чисел оказывается в точках, значения которых делятся на наименьшие простые числа (например, в точке 2100). Наименьшее реальное кол-во простых чисел, наиболее приближенное к формуле (7), находится в точках, являющихся степенью 2 (в данном случае, в точке 2048). Причина объяснена в Примечании к формуле (6) - см. выше.