Аннотация: Статья о сути формул кинетической и потенциальной энергии
Формулы кинетической и потенциальной энергии
На такой вопрос многие читатели ответят быстро по устоявшемуся шаблону: "Формула кинетической энергии - это половина произведения массы тела и квадрата скорости, т.е. Е = МV^2/2", не задумываясь при этом, что в большинстве случаев будет справедлива формула простого произведения массы тела на квадрат скорости без деления на два, т.е. Е = МV^2. Нередко можно услышать и утверждение, что потенциальная энергия больше у того тела, которое находится выше над поверхностью Земли, Именно об этом и пойдёт речь в этой статье.
Согласно классической теории энергия представляется как работа, совершённая силой на данном расстоянии. Сила, в свою очередь, представляется как произведение массы тела на ускорение, с которым это тело движется. В любом учебнике по физике вы найдёте вывод формулы кинетической энергии для тела, двигающегося с постоянным ускорением,
это и будет формула Е = МV^2/2. С другой стороны, в соответствии с теми же классическими постулатами, на тело, двигающееся с постоянной скоростью, сила не действует. Тут возникает естественный вопрос - обладает ли это тело кинетической энергией? Давайте решим школьную задачу по теме о сохранении количества движения (импульса). Те, кто играет в бильярд, хорошо знают, что при центральном ударе атакующий шар останавливается, а атакованный шар начинает движение со скоростью, которую ему сообщил первый во время удара. Здесь закон сохранения импульса, т.е. произведение массы тела на его скорость (МV), работает почти идеально, даже несмотря на сопротивление воздуха и силу трения. Но это возможно лишь в случае, если массы шаров одинаковы и удар упругий. А если массы разные? Тут и варианты могут получиться разные, так как всё будет зависеть от соотношения масс и скорости атакующего шара. Атакующий шар может после удара продолжать движение в том же направлении, что и атакованный, а может и покатиться назад. Такие задачи решаются при помощи двух уравнений, первое из которых представляет собой закон сохранения импульса: М(1)V = М(1)V(1) + М(2)V(2), где М(1) - масса атакующего шара, М(2) - масса атакованного шара, V - скорость атакующего шара до удара, V(1) - скорость атакующего шара после удара, V(2) - скорость атакованного шара после удара. Второе уравнение представляет собой закон сохранения энергии: М(1)V^2 = М(1)V(1)^2 + М(2)V(2)^2. Объединяя эти два уравнения в систему, мы решаем её относительно двух неизвестных V(1) и V(2), в результате чего получаем значения скоростей шаров после удара. Отрицательную скорость (движение назад) покажет знак "минус" перед значением скорости атакующего шара после удара. Тут всё ясно и понятно, ведь энергия атакующего шара распределяется после удара между этими двумя шарами. И тут не важно, двигался ли атакующий шар с ускорением, или нет. Роль играет именно та скорость, которую шар имел на момент столкновения. Следует заметить, что в некоторых учебниках второе уравнение записывают в следующем виде: М(1)V^2/2 = М(1)V(1)^2/2 + М(2)V(2)^2/2. Когда я вижу такие уравнения, у меня всегда возникает вопрос, почему бы не написать в знаменателях сразу пятьсот или двадцать миллионов? Ведь любой пятиклассник знает, что одинаковые знаменатели в левой и правой частях уравнения в расчётах не участвуют, потому что сокращаются. Остаётся истина, т.е. Е = МV^2. Точно также обстоит дело и при движении тела по окружности. На груз, вращающийся на нити, действует центробежное ускорение, которое вычисляется по формуле а = V^2/R, где R - радиус вращения, т.е. длина нити. Именно по этой длине и совершается работа. Умножая силу на длину, получаем значение энергии: Е = М * V^2/R *R = МV^2. Из Закона Всемирного тяготения для планет и спутников получается точно такая же формула. И знаменитая формула Пуанкаре, которую почему-то приписывают Эйнштейну, имеет вид Е = МС^2, а не Е = МС^2/2.
А теперь поговорим о потенциальной энергии. Для начала попробуйте решить простую школьную задачу, Имеется два тела одинаковой массы, одно из них находится на высоте 100 метров над поверхностью Земли, а другое на высоте 1000 метров. Тела начинают падать на землю. Вопрос: какое тело совершит большую работу при пролёте первого метра? Многие, не задумываясь, ответят, что второе. Ведь оно выше над поверхностью и у него больше кинетической энергии. Другие скажут, что одинаковую, так как работа выполняется на одном и том же расстоянии, а массы и ускорение свободного падения одинаковы. И только единицы дадут правильный ответ, что большую работу совершит первое тело, так как ускорение свободного падения растёт по мере приближения к центру Земли. Это ускорение высчитывается по формуле а = V^2/R, где V - первая космическая скорость у поверхности Земли, а R - расстояние от тела до центра Земли. Учитывая, что работа сил притяжения происходит именно по этому расстоянию, потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли тоже можно записать в виде формулы E = МV^2, где V - первая космическая скорость у поверхности Земли. А что касается школьных задач про работу, совершаемую падающим телом, так там используется простая формула потенциальной энергии Е = Мgh, где ускорение свободного падения постоянно на любой высоте, указанной в задаче. Оно действительно меняется на малых высотах весьма незначительно, но такое представление искажает суть явления и структуру причинно- следственных связей, откуда и появляются шаблоны.
А как же насчёт формулы Е = МV^2 /2, не с дуба же она рухнула? Такая формула имеет теоретическое и практическое обоснование, но для этого нам придётся заглянуть в мир молекулярно-кинетической энергии. Здесь тоже много нюансов и расплывчатых формулировок. Например, в понятии "температура". В справочниках можно найти много разных определений, от термодинамического равновесия до средней кинетической энергии на одну степень свободы. Словоблудие и ничего конкретного. Дело в том, что для веществ в твёрдом и жидком агрегатных состояниях величиной температуры является величина кинетической энергии атома или молекулы. Тут возникает естественный ворос, но ведь температура измеряется в градусах, а энергия в джоулях? В этом нет ничего страшного, есть известная формула перевода градусов в джоули. Энергия атома Е = 3кt, где к - постоянная Больцмана, а t - температура. Поясним это на примере. Для простоты возьмём идеальный вариант, когда тело, состоящее из чистого химического элемента, в твёрдом агрегатном состоянии прогрето равномерно и его температура составляет t градусов Кельвина. Тогда по формуле Е = 3кt мы находим энергию одного атома в данном теле. Далее мы можем найти и общую энергию, т.е. количество тепла, поглощённого этим телом. Для этого величину энергии одного атома мы должны умножить на количество атомов в теле. В свою очередь количество атомов мы можем вычислить, разделив массу тела на массу атома данного вещества, которую мы найдём из таблицы Менделеева. Но тут будут большие цифры, поэтому при реальных расчётах применяют понятие удельной теплоёмкости, которую, в свою очередь, тоже можно вычислить из таблицы Менделеева. Обо всём этом подробно написано здесь http://mikesokol.narod.ru/Glava-5.html , а мы перейдём к главному. Есть ещё одна формула , связывающая температуру и кинетическую энергию атома: Е = 3кt = МV^2, где М - масса атома, а V - скорость его движения по орбите в структуре вещества. И если для твёрдых и жидких тел тут всё совпадает, то для газов дело обстоит несколько иначе. Начнём с того, что при переходе в газообразное состояние атомы начинают вылетать из кристаллической структуры и сталкиваются между собой. В этом случае скорость атома или молекулы газа может упасть и до нуля. Получается сброс личной кинетической энергии, так называемый фазовый переход. Высвободившаяся энергия идёт на увеличение объёма газа или на повышение давления. В итоге средняя личная энергия атомов или молекул газа уменьшается вдвое. И если теоретически вычислить удельную теплоёмкость для формулы газа, считая, что это твёрдое тело, то реальная теплоёмкость газа при постоянном объёма будет в два раза ниже. Это есть лучшее доказательство того, что личная кинетическая энергия атомов или молекул газа соответствует формуле Е = МV^2/2. Поэтому нужно чётко представлять ситуацию и цель расчётов, прежде чем выбрать, какую формулу и когда применять.