Здесь и качественный вывод квантовой механики электрона в атоме и решение задачи о падении электрона на ядро из зарядки для ума: http://samlib.ru/s/strannikx/sci.shtml

Создание квантовой механики вызвано открытием электронных орбит в атоме вокруг ядра. Если размер атома определяется радиусом электронной орбиты, которая составляет примерно одну десятимиллиардную долю метра, то размер ядра оказывается еще в десять тысяч раз меньше. Этот факт весьма удивителен. Если представить себе атомное ядро размером с футбольный мяч у которого радиус 10 см, то расстояние от него до электронной орбиты будет целый километр. В нашей обычной картине мира совершенно непонятно, почему он не оказывается ближе да и вообще не падает на ядро, притягивающее электрон довольно сильно?

Можно ссылаться на инерцию, благодаря которой земля не падает на солнце, но здесь аргумент не работает. Во первых, непонятно почему у всех одинаковых атомов одинаковые радиусы орбит? Ведь они могли бы располагаться где угодно. Во вторых, вращающийся заряженный электрон должен излучать электромагнитные волны, при этом теряя энергию. Оказывается что в атоме водорода электрон должен растерять всю энергию и упасть на ядро в течении одной миллиардной доли секунды. Но этого не происходит. Почему?

Здесь на помощь приходит квантовая механика, согласно которой материальные частицы имеют волновую природу. Импульс частицы (произведение ее массы на скорость, p=mv) связан с длинной волны гипотезой де Бройля, а именно λ =h/(mv), где h это постоянная Планка, равная 6.28 × 10 ^-34 Дж с, m - масса электрона (m=9.11× 10 ^-31 кг) и v - его скорость. Но длина волны не может быть меньше длины орбиты электрона 2πa, где a - радиус орбиты. Отсюда, мы можем оценить минимальный импульс электрона как p=ℏ/a где ℏ=h/(2π) это перечеркнутая постоянная Планка или постоянная Дирака. Надо заметить, что тут не одно движение, а совокупность компенсируюих друг друга движений как в стоячей волне. Одна бежит налево, вторая - направо, а в результате все стоит на месте.

Но при таком импульсе кинетическая энергия электрона на орбите радиуса a будет K=p²/(2m)=ℏ²/(2ma²). Эта формула объясняет почему электрон не падает на ядро. В случае падения радиус электронной орбиты a обратится в 0. При этом кинетическая энергия обращается в бесконечность. Более того при малых радиусах орбиты она превышает выигрыш в отрицательной Кулоновской энергии притяжения, которую можно записать в виде U=-ke²/a, где k=1/(4πε₀), ε₀=8.854× 10^-12 Ф/м - диэлектрическая проницаемость вакуума, и e=1.60× 10^-19K - заряд электрона. Все использованное здесь, кроме разве что постоянной Планка есть в школьном учебнике. Поскольку падение электрона на ядро требует бесконечной энергии оно произойти не может.

Где же расположить электронную орбиту. Наиболее стабильное состояние имеет минимальную энергию, то есть надо выбрать такой радиус, чтобы сумма кинетической и потенциальной энергии была минимальна. Если в формулу для полной энергии дополнить до квадрата E=K+U=ℏ²/(2ma²)-ke²/a =ℏ²/(2m)(1/a-me²/ℏ²)²-me⁴/(2ℏ²) из нее следует, что минимум энергии достигается при радиусе орбиты, обращающем в 0 скобку, возведенную в квадрат, то есть a=ℏ²/(me²)=0.5× 10^-10m. Это и есть в точности Боровский радиус электронной орбиты в атоме водорода.

Оценка кинетической энергии может быть напрямую привязана к гипотезе де Бройля, связывающей импульс частицы с длиной волны с использованием постоянной Планка по закону λ =h/(mv). Если радиус орбиты равен a, то движение вдоль орбиты периодична с периодом равным ее длине 2πa. Вполне разумно предположить, в волне этот период должен быть равен целому числу длин волн 2πa=nλ. В этом случае импульс электрона равен h/λ=hh/(2πa), а его кинетическая отличается от выражения в предыдущем параграфе на множитель n². В этой ситуации полная энергия достигает минимума при радиусе орбиты превосходящем боровский радиус на множитель n², а энергия электрона на этой орбите меньше чем в случае n=1 в n² раз в полном соответствии с моделью Бора. Вычисление энергий электронных орбит возможно лишь посредством решения уравнения Шредингера.

Поскольку реальное состояние электрона более сложное и не сводится к движению по кругу оценки приведенные выше скорее качественные чем аккуратные и их сопадение с реальностью связано со спецификой взаимодействия с ядром по закону Кулона. В случае другого закона эти оценки будут лишь приближением к ответу, но не дадут точных энергий состояний частицы.

Скорость электрона на орбите можно оценить используя выражение для его импульса p=ℏ/a при заданном радиусе орбите a и, используя определение v=p/m. Тогда находим v=p/m=ke²/ℏ. Эту скорость удобно выразить через скорость света в вакууме c=3× 10⁸м/с. Тогда получаем v=c× ke²/(ℏc). Комбинация фундаментальных констант ke²/(ℏ c) равно примерно 1/137 то есть скорость электрона на орбите в атоме водорода равна одной сто тридцать седьмой скорости света. А что если заряд ядра больше электронного. Пусть он будет Ze, где Z - целое число. Тогда потенциальная энергия будет в Z раз больше, то есть -Zke²/a. Используя новое определение, легко найти, что скорость электрона вырастет в Z раз.

Таким образом при Z=137 она достигнет скорости света. Это значит, что наше выражение для кинетической энергии теряет применимость и мы должны использовать релятивистскую формулу K=((cp)²+(mc²)²)^1/2. В то же время квантовомеханическое выражение для импульса остается применимым, так что получаем K=((cℏ/а)²+(mc²)²)^1/2. Может ли электрон упасть на ядро при таком определении кинетической энергии? Оказывается да. Падение соответствует радиусу орбиты a, стремящемуся к нулю. В этом случае первый член в скобке стремится к бесконечности и, пренебрегая вторым, находим предельное поведение K=cℏ/а. Кинетическая энергия теперь зависит от радиуса орбиты также как и потенциальная, только с другим знаком. Поэтому в случае kZe² > cℏ потенциальная энергия выигрывает и падение на ядро становится неизбежным. Ответ к задаче в том что заряд ядра должен превышать 137 протонных зарядов. В природе это вряд ли возможно, поскольку ядра нестабильны при гораздо меньшем заряде превышающем 100.

Приведенный вывод верен качественно, но аккуратное решение задачи требует решения уравнений Шредингера или Дирака, что выходит за рамки качественного рассмотрения приведенного здесь.

Дополнение 1.

Принцип неопределенности и прямо связанная с ним оценка минимальной кинетической энергии (ℏ²/(2ma²)) позволяют понять природу самой сильной химической связи, называемой ковалентной связью. Поясним это на примере молекулы водорода. Когда два атома водорода находятся рядом каждый из двух электронов может одновременно занимать орбиту как вокруг первого ядра (протона) так и вокруг второго. С точки зрения принципа неопределенности возможность пребывания электрона на двух орбитах одновременно, реализующаяся когда атомы находятся рядом, увеличивает размер а его орбиты. А это увеличение понижает кинетическую энергию, которая обратно пропорциональна квадрату этого размера. Этот выигрыш в энергии и связывает атомы в молекулы, поскольку если атомы развести далеко то электрон гибридизуется нееффективно и энергия возрастает.