# Классификация

Юрий Николаевич Васильев

Основная последовательность

Аннотация: Используя зависимость между элементами монотонной, ограниченной последовательности {Nn}, можно классифицировать эту последовательность.

Если элементы последовательности {Nn} связаны формулой (3)

Nn=aNn-1+dNn-2, n>1

а элементы последовательности {Nn} можно вычислить по формуле (2) или (2.1), а так же существует характерная зависимость между элементами последовательности {Nn}

Nку2n-1=Nn2+dNn-12 (9)

Nn-aNn+a=Nn2+dn-aNa2 (10)

где d-коэффициент квадратного уравнения (4)

то такую последовательность можно считать основной.

Числа Фибоначчи.

Для них уравнение (4): x2=x+1, a=1, b=√5

Если в формулу (2.1) подставить значения коэффициентов а и b, то получим формулу Бине, Бернулли.

Nn=[(1+√5)n-(1-√5)n]/2n√5

Боковые числа.

Для них уравнение (4): x2=2x+1, a=2, b=√8.

Если в формулу (2.1) подставить значения коэффициентов a и b, то после сокращения получим.

Nn=[(1+√2)n-(1-√2)n]/2√2

Совершенные числа.

Для них уравнение (4): x2=6x-8, a=6, b=2.

Проверим формулу совершенного числа: Nn=2n-1 ( 2n-1), где (2n-1) простое число. Если в формулу (2.1) подставить значения a и b, то после сокращения получим.

Nn=[(6+2)n-(6-2)n]/2n+1=2n-1 (2n-1)

Числа Мерсенна.

Для них уравнение (4): x2=3x-2, a=3, b=1

Проверим формулу этих чисел: Nn=2n-1, где (2n-1) простое число.

Если в формулу (2.1) подставим значение коэффициентов a и b, то после сокращения получим.

Nn=[(3+1)n-(3-1)n]/2n=2n-1

Обратные последовательности.

У основной последовательности {Nn} существует только одна обратная последовательность {Mn}.

Обратная последовательность {Mn}, при d≠0 образуется по формуле:

Mn=(x1n+x2n)/(x1+x2) для a2+4d>0 (11)

Mn=aMn-1+dMn-2 для a2+4d>0 (12)

Запишем формулу (11) через коэффициенты a и b, где b-дискриминант квадратного уравнения (4), b2=a2+4d, тогда

х1=(a+b)/2, x2=(a-b)/2,

Mn=[(a+b)n+(a-b)n]/2na (11.1)

Вычислим первые элементы последовательности {Mn} образованной по формуле (11), где (x1+x2)=a, x1x2=-d, (x1-x2)=b

M1=(x11+x21)/(x1+x2)=1, M1=1 (13)

M2=(x22+x22)/(x1+x2)=[(x1+x2)2-2x1x2]/(x1+x2)=a+2d/a, M2=a+2d/a (14)

Есть зависимость между элементами основной и обратной последовательностями:

Nn/Mn=>(x1+x2)/(x1-x3)=a/b, где b2=a2+4d, при n->∞

Обобщенные последовательности.


У основной последовательности существует бесконечное число обобщенных последовательностей {Кn}, к ним относятся Пифагоровы, фигурные, Люка числа и др., которые формируются в зависимости от начальных элементов, то есть рекуррентным способом.