Любопытно, что раздел "Теория квантов и квантовая механика" является второй частью книги Эренфеста, но написан он в 1906г., тогда как первая часть "Оптика и теория относительности" написана позже, в 1910г.
Эренфест пишет: "Закон Кирхгофа об универсальности излучения плоскости может быть распространен на некоторые мысленные, абстрактно представляемые системы. В качестве такой системы г. Планк выбирает следующую модель. Один или несколько резонаторов окружены зеркальной оболочкой. Свойства резонаторов полностью отражаются линейным однородным уравнением, описывающим их колебания. Затухание возникает лишь за счет излучения, но не за счет сил трения. "Если для некоторой произвольно выбранной системы такого специального вида, испускающей и поглощающей излучение, можно указать состояние равновесия с излучением в окружающем вакууме, характеризующееся абсолютной стабильностью, то это состояние не может быть не чем иным, как только состоянием черного излучения". При этом г. Планк производит расчеты, показывающие, как наличие указанных резонаторов изменяет излучение, первоначально содержащееся в модели. Несмотря на линейность всех основных уравнений, входящих в рассмотрение, эти расчеты сопряжены с очень большими трудностями, и необходимость вникать в них препятствует получению общего представления о методе при первом чтении".
Замечание 55. В этом, пожалуй, кроется суть проблемы. Решение уравнений представляет значительные сложности, несмотря на их линейность. Разумеется, в этом случае трудно ожидать, что будут решены нелинейные уравнения. Даже если бы у Планка были основания для того, чтобы уравнения зависать в нелинейном виде, это едва ли придало бы ему энтузиазма: дай бог справиться с линейными уравнениями! Но суть явления именно и состоит в нелинейности этих уравнений! Как раз для того, чтобы их считать линейными, нет никаких оснований! Стоит ли разбирать подробно решения этих линейных уравнений, когда мы знаем, что они не могут быть не только линейными, но и не могут быть настолько несущественно нелинейными, чтобы их можно было бы линеаризировать. Проблема атомарного и молекулярного излучения тесно связана с проблемой модели атома и электрона. Не принимать во внимание эффекты, связанные с ускоренным движением заряженных частиц, создатели модели атома просто не имеют права. Как быть с эффектом Черенкова? Как быть с электромагнитным излучением при движении электрона с ускорением? А разве может электрон не двигаться с ускорением? Если диаметр атома (и молекулы) ограничен, а движение без ускорения всегда приводит к неограниченному перемещению кроме случая полного покоя, то мы просто обязаны предположить ускорение электрона. Ядра атомов, по-видимому, тоже движутся с некоторым ускорением, поскольку, видимо, справедлив закон Ньютона о равенстве действия и противодействия. Уже при постановке вопроса ясно, что необходимо привлекать аппарат анализа замкнутых нелинейных динамических систем. Все остальные методики просто не годятся. Если бы для анализа замкнутых динамических систем можно было бы не разрабатывать новых методов, а воспользоваться известными, то не было бы такой науки, которая занимается именно этими вопросами [2-4]. Если бы нелинейные системы хоть как-то отдаленно вели себя так же, как линейные, то также не было бы необходимости в этом разделе теории автоматики. Нелинейными объектами, которые можно приблизительно описать линейными уравнениями, занимается теория линейных динамических систем.
Далее Эренфест дает обзор полученного Планком результата, чтобы "сделать более доступным пониманию с помощью способа, примыкающего к методам Рэлея и Джинса".
"Результат может быть сформулирован следующим образом:
1. Спектральный состав излучения, первоначально введенного в модель, не претерпевает изменений при наличии произвольного количества планковских резонаторов, а сохраняется неопределенно долго.
2. Поглощение и испускание излучения осцилляторами приводит к тому, что в конце концов возникает некоторое стационарное состояние, в котором для всех лучей определенной длины волны распределение интенсивностей и поляризаций по величинам и направлениям становится однородным"
Замечание 56. По-видимому, эти результаты очень важны. Однако, совершенно очевидно, что они весьма далеки от модели атомарного и молекулярного поглощения света и излучения света. Для поглощения света атомом, в частности, достоверно известно следующее:
1. Атом может поглощать свет, не излучая его; при этом поглощенный свет переходит в тепло.
2. Атом может поглощать тепло, излучая свет.
3. Атом может поглощать свет одной длины волны (одной мощности), а излучать свет другой длины волны (и мощности). Эти явления могут быть близки или далеки во времени.
4. Спектральный состав света, излучаемого атомом, настолько же сильно зависит от свойств атома, насколько же, практически, не зависит от свойств поглощаемой энергии, которая является причиной излучения. Атомы различных веществ излучают свет с различными спектральными характеристиками. Если пренебречь понятными явлениями уширения спектра излучения (которые могут быть легко объяснены доплеровским сдвигом за счет теплового движения атомов) и расщеплением резонансов поглощения (которые могут быть легко объяснены фазовой модуляцией излучения, то есть вторичным эффектом от колебательного движения атомов), то можно сказать, что спектр излучения каждого атома - есть неотъемлемое, стационарное, многократно воспроизводящееся свойство атома данного элемента, не присущее никакому иному атому.
Подытоживая эти свойства, можно утверждать, что строение атома целиком и полностью ответственно за спектр его излучения и типы излучения, которые характерны для атомов данного вещества.
Приблизительно то же самое можно сказать и о молекулярном излучении.
Обозначенные выше результаты Планка, возможно, могут быть применены к макромодели, состоящей из зеркал, но к модели атома и молекулы они, очевидно, не имеют никакого отношения.
Далее Эренфест дает формулировку этого утверждения: "в модели Планка излучение хотя и может с течением времени становиться все более неупорядоченным, но при этом оно не приближается к черному излучению". "Резонаторы внутри полости с зеркальными стенками приводят к тому же результату, что и в случае пустой полости, стенки которой в отдельных местах отражают свет диффузно".
"Пусть зеркальная или диффузно отражающая оболочка окружает лишь чистый эфир. Тогда любой связанный с излучением процесс внутри этой оболочки является просто некоторой суперпозицией собственных колебаний полости. Амплитуды (и фазы) этих колебаний, как известно, остаются постоянными до тех пор, пока система остается замкнутой и Предоставленной самой себе. "При этом не может быть речи о какой-либо тенденции к выравниванию энергий, приходящихся на отдельные парциальные колебания". Эти выводы без затруднений переносятся на планковскую модель. А именно, если осцилляторы определяются исключительно заданием однородного Линейного дифференциального уравнения, которое для них принимает г. Планк, то они по существу эквивалентны маленьким стержням из идеального проводника или соответствующего диэлектрика. Но в таком случае всякое состояние движения планковской модели опять является суперпозицией собственных колебаний этой сложной системы. Таким образом, и здесь не может быть речи о тенденции к выравниванию энергий, приходящихся на отдельные парциальные колебания. Этот найденный г. Планком результат тем более важен, что он резко противоречит наглядному представлению".
Замечание 57. По-видимому, сказки тоже очень важны, поскольку они резко противоречат наглядному представлению.
"Действительно, планковский резонатор вследствие затухания, связанного с излучением, реагирует на колебания всех периодов, достаточно близких к периоду его собственных колебаний. Поэтому было бы естественно ожидать, что набор резонаторов, собственные частоты которых близко примыкают друг к другу и вместе охватывают весь спектр, должен постепенно превратить первоначально монохроматическое излучение в излучение непрерывного спектра".
В примечании к этому утверждению сказано: "Дело обстоит иначе, если существенную роль играют молекулярные столкновения или если дифференциальные уравнения не являются Линейными и однородными".
Замечание 58. Планковский резонатор - это, видимо, устройство, описываемое линейными уравнениями, поскольку этот резонатор - чистая абстракция. В абстракции можно предположить всё что угодно. Совсем иное дело - физическая реальность. Вопрос о том, насколько конкретная абстракция - линейная или нелинейная - соответствует действительности, остаётся открытым. По-видимому, любая абстракция может соответствовать действительности только в ограниченных рамках, и ни одна абстракция не соответствует действительности полностью. В некоторых случаях линейная модель настолько сильно отличается от нелинейной, что одна из них совершенно не соответствует действительности. Примером могут служить математический маятник без трения, маятник с трением и маятник от ходиков. Внешнее сходство обманчиво. Математический маятник без трения совершает незатухающие колебания, амплитуда которых зависит от начальных условий (т.е. от отклонения и скорости). Маятник с трением совершает затухающие колебания. Маятник в ходиках совершает незатухающие колебания, амплитуда которых не зависит от начальных условий. Если начальное отклонение превышает некоторую критическую величину (которое даже несколько меньше, чем отклонение при установившихся колебаниях), то этого достаточно, чтобы маятник вышел в режим автоколебаний. Если начальное отклонение меньше критической, то колебания будут затухающими, только в этом случае маятник будет вести себя так же, как простоя маятник с трением. То есть в каких-то малых движениях две последних системы ведут себя одинаково, а в целом их отождествить никак нельзя. Если теперь сделать попытку отыскания модели атома водорода, то мы приходим к выводу, что нелинейный маятник наиболее близок по основным особенностям движений к этой модели. Если под атомом водорода понимать систему их положительно заряженного ядра и движущимся около него электроном, то следует признать, что наиболее вероятным решением является такое движение, которое не зависит от начальных условий. Мы приходим к нелинейной модели. Нет оснований для принятия модели "без потерь" - мы знаем, что атом может иметь различную температуру, то есть атом может получать и отдавать энергию при взаимодействии со средой. Ничто не запрещает предположить, что электрон может, совершая тепловые движения, отклоняться от стационарной орбиты: отклонение в сторону более энергетической орбитой будет сопровождаться поглощением энергии, а возвращение на стационарную орбиту будет сопровождаться возвратом этой энергии. При этом не обязательно поглощенная и возвращенная энергия должна трактоваться только как тепловая или только как световая. Возможно, разница между тепловой и световой энергией в данном случае чисто количественная, а не качественная: не даром инфракрасное излучение называют тепловым. Если излучение происходит в дальней инфракрасной области, то мы, возможно, и не отождествим его с излучением. Электрон, вероятно, может отклоняться и в область менее энергетических орбит с выделением энергии и возвращаться обратно с поглощением энергии. Тепловые движения в веществе традиционно трактуются как колебания атомов, то есть ядер, но нет достаточных оснований для того, чтобы исключить, что тепловые движения в том числе (или исключительно) являются колебаниями электронов относительно своих стационарных орбит. Стационарная орбита, по-видимому, характеризуется отсутствием в сумме по орбите как излучения, так и поглощения. Поскольку мы знаем, что движение в замкнутой области не может быть равномерным, а может быть только с ускорением, а также поскольку мы знаем, что движение электрона с ускорением непременно сопровождается излучением или поглощением энергии, мы, следовательно, должны предположить, что стационарная орбита характеризуется одним из следующих свойств: 1) порция энергии, излученной электроном на одной части орбиты, должна в точности соответствовать порции энергии, поглощенной им на другой части орбиты; 2) при наличии более, чем одного электрона в атоме стационарными могут быть орбиты, при которых два или большее количество электронов поочередно обмениваются частью своей энергии. Во втором случае они могут поочередно переходить с одной орбиты на другую, а могут и не делать этого, например, двигаясь в противофазе по одной орбите. Второй случай не применим к модели атома водорода, поскольку в этом атоме только один электрон. Следовательно, необходимо допустить, что электрон способен излучить энергию, а потом поглотить ее полностью. Это возможно исключительно лишь в том случае, если электрон способен двигаться со скоростью, большей, чем скорость света. Следовательно, теория относительности, запрещающая нам допускать такое движение, препятствует даже теоретическому построению хоть какой-то мыслимой модели, в которой одиночный электрон занимал стационарную орбиту в атоме. Если мы хотим двигаться дальше по пути поиска возможных механизмов движения электронов в атоме, мы должны, обязаны отказаться от постулата теории относительности о том, что никакое материальное тело не может двигаться быстрее, чем скорость света в вакууме. Все предшествующее изложение, как мы надеемся, могло служить основанием для того, чтобы допустить такой отказ, или, во всяком случае, усомниться в правильности второго постулата Эйнштейна. Тем читателям, которые не нашли в себе силы отказаться от второго постулата, мы рекомендуем прекратить на этом чтение настоящей работы, чтобы сберечь свое время для более продуктивных дел.
Далее Эренфест пишет: "Если каждому состоянию движения рассматриваемой модели приписать определенную энтропию, то при подходящем выборе выражения для энтропии можно сформулировать результат Планка следующим образом: энтропия схемы возрастает до некоторой величины, которую она не может превзойти, пока система остается замкнутой и предоставленной самой себе. Но значение этой граничной величины зависит не только от полной энергии, но и от спектрального состава первоначально заключенного в модели излучения".
Замечание 59. Вот такие утверждения я бы назвал той границей, перешагнув которую физика из теоретической дисциплины переходит в образ наукообразного коллекционирования фактов. Термин "энтропия" напоминает платье голого короля. Нам стыдно признаться, что мы не понимаем этого термина, но как только начинаются рассуждения по поводу энтропии, это, чаще всего, означает, что мы не понимаем механизма явления и пытаемся спрятаться за вероятностными прогнозами. Физика становится в таких случаях беспомощной, как метеорология. То есть в принципе мы знаем, что летом тепло, зимой холодно, а осенью и весной - промежуточные температуры. Но сказать, какова будет температура, скажем, 23 февраля 1910 года, или, хотя бы 8 марта следующего года мы уже не в состоянии. Единственное, что мы можем - это усреднить все температуры данного числа, допустим, за сто лет и дать это в качестве прогноза. Прогноз на ближайшие дни мало чем отличается принципиально - опять-таки проводятся экстраполяции движений воздушных масс с учетом количества тепла, которое учесть трудно. Предсказания траектории элементарной частицы около единственной другой элементарной частицы с привлечением термина "энтропия" - это показатель беспомощности науки в данном вопросе.
Обратимся к физическому энциклопедическому словарю [5], и выясним, что энтропия - это понятие, введенное в термодинамике для определения меры необратимого рассеяния энергии. Почему при обсуждении излучения атома следует предполагать необратимое рассеяние энергии? Что в данном случае понимать под термином "необратимое"? В теории информации этот термин оправдан: передача сообщения по каналу связи обязательно связана с ухудшением отношения сигнал/шум. Если даже сигнал передается в цифровом виде, то вероятность того, что помеха может исказить некоторые биты посылки всегда ненулевая. Статистическая характеристика канала связи в информатике широко использовалась Хеммингом для разработки теории помехозащищенного кодирования, то есть методов увеличения кодового расстояния за счет ввода дополнительных (проверочных) кодов, что позволяет находить и исправлять ошибки в канале связи. В термодинамике Р. Клаузиус (1865) показал, что процесс превращения теплоты в работу подчиняется определенной закономерности - второму началу термодинамике - которое можно сформулировать, если ввести особую функцию состояния вещества - энтропию. Далее рассуждения ведутся относительно интегралов, которые принципиально не берутся, поскольку они включают в себя слишком много условий, и объемлют слишком большие пределы и во времени и в пространстве. На этой стадии наука переходит в наукообразие. То есть вместо того, чтобы сложные явления были бы объяснены с помощью простых аналогий, нам предлагается вместо ответа на простые вопросы искать пути решения сложных уравнений, данных для решения которых всегда недостаточно. Если бы физика описывалась уравнениями, для которых можно найти достаточно данных и которые можно решить, то аналогии были бы излишни. Если бы мы имели исчерпывающее математическое описание для теории распространения света, нам не было бы необходимости рассматривать свет как волну, или как поток частиц, или как среднее между тем и этим. Когда мы имеем уравнения математического маятника, задача решена. Нам нет необходимости сравнивать маятник с волной, или чем бы то ни было еще. Когда мы можем сравнить что-то по аналогии с чем-то иным, более понятным, то у нас есть теория. Например, Майкельсон предсказал, что если соленоид раскрутить, а затем резко затормозить, то в момент торможения в нем возникнет ток. Это предсказание было сделано на основании аналогии между электрическим током в соленоиде и током жидкости в шланге. Следовательно, аналогия была некоторым образом верная. Если же мы для описания излучения атома водорода должны брать интеграл от энтропии, не зная, что это, собственно говоря, за величина такая, и как её можно вычислить, то мы не достаточно продвинулись в теории. Разумеется, такие методы тоже могут помогать предсказывать что-либо. Но они не дают понимания проблемы.
Эренфест пытается разобраться с энтропией: "Следующая аналогия из кинетической теории газов помогает лучше понять этот вопрос. Представим себе своеобразный идеальный газ, молекулы которого могут беспрепятственно проникать одна сквозь другую; столкновения они испытывают лишь на стенках или на "рассеивателях", которым мы сейчас дадим определение. Под "рассеивателями" подразумеваются упругие шарики молекулярных размеров, беспорядочно распределенные по объему, причем центры их считаются жестко зафиксированными. Таким образом, при каждом столкновении молекулы газа сохраняют величину скорости (энергии), направление же их движения меняется. Для такой модели можно провести полную аналогию с H-теоремой. Если мы на минуту примем H-теорему без всяких оговорок, то она означает, что первоначальная неравномерность в распределении плотности и скоростей по направлениям с течением времени выравнивается. Разумеется, о какой-либо тенденции к выравниванию энергий, приходящихся на каждую молекулу, не может быть речи. Поэтому величина энтропии H возрастает до некоторого значения, соответствующего частичному уменьшению первоначального порядка, и пока система остается замкнутой, это значение не может быть превзойдено. В обеих моделях энтропия не достигает своего "абсолютного" максимума, возможного при заданной полной энергии. Этот максимум был бы достижим только в том случае, если бы в первой модели излучение стремилось стать черным, а во второй модели распределение скоростей приближалось бы к максвелловскому, что невозможно".
Замечание 60. Уважаемые читатели! Я надеюсь, что вы поняли из сказанного больше, чем я.
Замечание 61. Есть основания предположить в некоторых случаях, что электроны могут проникать через ядра, но и с таким предположением я бы работал очень и очень осторожно: основания для рассмотрения модели - это еще не основания для принятия такой модели, а тем более для принятия теории на этом основании. В лучшем случае это дает право анализа математических соотношений для того, чтобы посмотреть, что дает такая модель, и насколько она близка к реальности. Оснований же для предположения, что молекулы обладают свойством взаимопроникновения, нет никаких. Электрон и ядро взаимно притягиваются, и взаимопроникновение - это всего лишь крайний случай, предельная точка при наличии всех промежуточных возможностей. Молекулы же не притягиваются, а как раз наоборот: при сближении возникает сила, отталкивающая молекулы друг от друга. Поскольку модель упругих столкновений молекул работает достаточно хорошо в физике, можно было бы предложить, что действует некая сила, аналогичная той, которая проявляется в законе Гука. При деформации молекулы возникает сила, которая, как минимум, пропорциональна деформации, если бы у нас не было оснований для более точного предположения. Этим основанием является закон Кулона. Поэтому весьма вероятно, что сила отталкивания по закону, содержащему расстояние между центрами молекул в знаменателе, то есть в пределе достигает бесконечного значения. Это означает, что никакая сила не может заставить две молекулы занять одну и ту же точку в пространстве. Исключение может быть сделано только для движения молекулы со скоростью, близкой к скорости света, и то лишь при том условии, что мы допускаем, что кулоновские силы зависят от скорости движения частицы в поле. Современная физика такого допущения не делает. В будущем, возможно, физика будет вынуждена признать основательность такого допущения. В любом случае при скоростях, далеких от релятивистских, представление о взаимопроникающих молекулах противоречит понятию о том, что такое молекула.
Эренфест продолжает: "Таким образом, излучение в замкнутой модели, вообще говоря, не может перейти в то состояние, "которое отличается абсолютной стабильностью". В планковской модели набор бесконечного числа нечерных излучений оказывается полностью стабильным. Это особенно просто можно показать с помощью метода размерностей. В связи с этим, когда г. Планк в нынешнем изложении основ своей теории резонаторов явным образом принимает требование "абсолютной стабильности", возникает вопрос: чем вызывается эта абсолютная стабильность или хотя бы как она себя обнаруживает?"
Замечание 62. Из сказанного, во всяком случае, я понял, что, во-первых, модель далека от реальности, но более реальную модель мы не умеем рассчитывать. Во-вторых, и в этом случае нас отсылают к вероятностным законам. В-третьих, принимаются некоторые условия, в частности, абсолютная стабильность, хотя не дано никаких оснований для этого. Видимо, так удобнее предполагать, или легче вычислять? Хотя ничего вычислять никто не собирается.
"Мы обязаны г. Планку созданием другой теории теплового излучения, которая, если я правильно понимаю, физически не связана с резонаторной теорией и уже сейчас дала возможность получить необычайно красивый результат, а именно с очень высокой точностью найти постоянную Больцмана k (3/2 kT - средняя кинетическая энергия молекулы при температуре Т)".
Замечание 63. Первая теория не дала результата, зато есть вторая теория. Если она красива, то это оправдывает её существование, мне кажется.
"Мы позволим себе воспользоваться представлением, которое более соответствует методам Рэлея и Джинса. Амплитуды и фазы собственных колебаний полости с зеркальными стенками можно рассматривать в каком-то смысле как физически не связанные друг с другом, точно так же, как скорости молекул в газе в отсутствие взаимодействия. Это замечание дает повод перенести на такую систему кинетическое определение энтропии, данное Больцманом для случая смеси газов, не находящейся в равновесии. Множеству молекул одного сорта соответствует множество колебаний полости, частоты которого лежат в интервале от v до v + dv. Энтропия заключенного в полости излучения дается при этом выражением (дано сложное выражение с тремя интегралами) (1)".
Замечание 64. Мы видим, что физика ушла от задачи вычисления орбиты или траектории одной какой-то частицы, перейдя к задаче поиска закономерностей движений в целом. Это правильный и одновременно ловкий ход, но он не логичен в данном случае. Нас интересовал процесс излучения одного фотона одним электроном простейшего атома. Ответа на этот вопрос мы, по-видимому, не получим. Что ж, мы можем отказаться от одной рыбёшки, если нам пообещали полный невод рыбы, но проблема как раз в том, что и невода рыбы мы не получим. Хотя ход мысли очень правильный: нет необходимости искать конкретную реализацию, надо найти закономерность реализаций от начальных условий. Где мы такое встречали (встречаем)? Конечно же, в теории замкнутых динамических систем, иначе говоря, в теории автоматического управления. Там имеется сложная динамическая система, в которой одна величина влияет на вторую, а вторая, в свою очередь, влияет на первую. Получается цикл замкнутого взаимовлияния двух величин друг на друга. Далее разработаны (досконально) методики для решения вопроса о том, как будет развиваться переходный процесс в системе в зависимости от начальных условий. Причем, целью решения является не отыскание какого-либо заданного переходного процесса, а определения общих закономерностей переходных процессов. Выясняется, прежде всего, будут ли переходные процессы устойчивыми, или нет. Введено понятие "устойчивость", даны критерии для определения устойчивости, даны методики вычисления конкретного переходного процесса в виде свертки функций, вычисляемых с помощью интеграла Дюамеля. В этой науке совершенно недопустимо рассматривать амплитуды и фазы колебаний, как не связанные между собой. Это особенно касается нелинейных систем. У нас достаточно оснований считать даже простейший атом именно нелинейной системой, поэтому в данном случае мы стоим на перекрестке, на котором физика свернула не туда, куда ей следовало бы свернуть. Мы вспомним о перекрестке ещё и в связи со следующей аналогией: далее физика в этом вопросе напоминает зеваку, стоящего на перекрестке и анализирующего, сколько красных автомобилей свернёт налево, а сколько - направо, и насколько синие и черные автомобили ведут себя иначе, нежели красные. Если бы мы знали, что красные автомобили - это пожарные машины, желтые - такси, а синие - инкассаторские, и если бы мы знали, в каком направлении пожар, в каком - банки, а в каком - места отдыха, то нам не потребовалась бы подобная статистика. Тем не менее, конечно, нельзя не признать, что статистика и здесь работает, и мы могли бы получить в пределе очень верное описание на основании некоторых предположений, а также в силу закона больших чисел. Вся эта статистика, однако, не даёт ответа на единственный простой вопрос: почему электрон в атоме водорода движется подобно тому, как движется спутник около астрономического объекта? Этот вопрос расщепляется на более мелкие: почему электрон не падает на ядро? Почему он не вращается по плоской орбите, диаметр которой зависит от начальной скорости? Почему он не излучает электромагнитной энергии? Что заставляет его двигаться даже тогда, когда абсолютная температура атома близка к нулю? Что означает абсолютный нуль? Что означает ненулевая температура атома? И так далее. Модели нет. Картины нет. Есть статистика. То есть, нет ничего.
Далее приводятся различные соотношения, справедливые в частности, но не справедливые в целом. "В качестве граничного распределения при этом получается известное распределение Максвелла - Больцмана, из которого следует, что средняя величина энергии, приходящейся на отдельные собственные колебания, одна и та же для всех частот. Если тем же методом исследовать систему, состоящую из молекул и эфира (здесь мы не будем воспроизводить вычисление), то оказывается, что указанная средняя энергия колебаний совпадает также со средней энергией молекул. Но отсюда окончательно вытекает следующее выражение для спектральной плотности излучения, как показано Рэлеем и Джинсом путем нахождения величины N(v) для случая кубической полости" - дана формула и сказано: "Эта формула согласуется с опытом лишь в области больших длин волн и при высоких температурах". Не дано объяснение, почему только при этих условиях эта формула согласуется с опытом. Сказано лишь, что она не противоречит закону смещения Вина и может быть использована для определения постоянной Больцмана в области ее применимости.
"Для высоких частот спектральная формула (4) должна быть отвергнута уже потому, что при v--->оо она приводит к бесконечной интенсивности излучения. В связи с этим возникает вопрос: каким образом избегает этой трудности планковская теория комплексий?"
Замечание 65. По постановке вопроса чувствуется, что ответ будет половинчатым. Теоретическая наука должна не избегать трудностей, а выявлять причину: не только предельная точка с бесконечным значением интенсивности является признаком несовершенства теории, но и возрастание некоторой величины с асимптотическим движением к бесконечности уже должно насторожить. Откуда берётся энергия, ответственная за возрастание интенсивности? Возьмем пример с "бесконечным увеличением массы" при увеличении скорости частицы. Теория относительности слишком легко приняла это предположение. А ведь бесконечная масса должны означать некоторую реальность, бесконечную инерционность объекта, то есть бесконечную его энергию связи с пространством (или с полем в этом пространстве). Мало того: бесконечная масса должна означать бесконечно большую силу взаимодействия (притяжения). Следовательно, электрон, разогнанный до скорости света должен представлять собой центр притяжения, в бесконечное количество раз большего, чем любая конкретная черная дыра, не говоря уже о звезде. Понятно, что такая абстракция не может иметь ничего общего с действительностью. В уравнении, связывающем ускорение, силу и массу, наблюдение уменьшения ускорения в предположении постоянной силы указывает на увеличение массы, но ведь можно предположить, что гипотеза постоянной силы несостоятельна. Тогда это же самое наблюдение указывает на уменьшение силы. Этому можно найти достаточно понятное объяснение: поскольку сила распространяется через поле, а скорость объекта возрастает, то поле слабее воздействует на объект. В данном случае мы привели пример того, как можно не просто "избежать трудности", а выявить несоответствие логике, и с позиции "объяснимости" явления выбрать более адекватную модель. Следовательно, и в вопросах исследования интенсивности излучения необходимо искать не пути, как избежать трудностей, а механизмы проявления простых соотношений, объясняющие сложные явления.
"Здесь нужно прежде всего рассмотреть в самом общем виде, к чему может привести введение наряду с условиями I и II еще других дополнительных условий".
Условия, на которые ссылается Эренфест, состоят в том, что интеграл от некоторой функции распределения F излучения по частотам равен единице, а полная энергия заключенного в полости излучения задана величиной E.
"То, что такие условия могут быть физически обоснованными, показывает следующее замечание, которое, впрочем, я привожу только для иллюстрации. Примем, что все процессы возбуждения излучением в природе происходят исключительно через посредство электронов, причем эти электроны обладают определенной структурой. Эта специальная структура, даже если это просто жестко фиксированный диаметр электрона, в принципе может привести к тому, что не всякие мыслимые основные колебания нашей полости могут быть возбуждены обычными средствами. До настоящего времени не удавалось вывести подобного рода ограничений из какой-либо физической гипотезы".
Замечание 66. Я особо прошу моих читателей взять на заметку то утверждение, что до настоящего времени не удавалось вывести ограничения на виды колебаний, которые может совершать электрон. Дополнительно я хочу отметить тот факт, что Эренфест увязывает эти ограничения с формой и размерами электронов, а не с характером их силового взаимодействия и движений (связей) в атоме. По-видимому, этот ход не вполне правомочен. Вероятно, характер этих связей и движений электронов - это именно тот фактор, который определяет отличия излучений одного вида атома или молекулы от всех других. Если можно говорить о какой-либо форме электронов, то лишь в связи с общими свойствами электронов во всех атомах и во всех молекулах, а также вне атомов или молекул. Предположение о том, что форма электронов меняется в зависимости от того, в составе какого атома или молекулы этот электрон находится, было бы, по-видимому, чрезвычайно необоснованным на нынешнем этапе развития физики.
Замечание 67. Далее рассуждения от физической реальности уходят в область абстрактных предположений в области математики. Нам представляется, что в подобных случаях физика как таковая незаметно уходит, не прощаясь, а на ее место приходит математика. Математика в физике крайне необходима для следующих расчетов: а) из известных соотношений выводить неизвестные, б) из известных соотношений выводить известные же для подтверждения теории, то есть метода выведения, в) из гипотетических соотношений выводить проверяемые или известные следствия, для обоснования этих гипотетических соотношений, г) вычислять те величины, которые могут быть точнее вычислены, чем измерены, и для других подобных целей. В последующем же тексте нам представляется, что некоторые "условия" накладываются на некоторые гипотетические задачи из соображений, физическая суть которых не столь очевидна. Кроме того, следует отметить, что если подобные условия выражаются в виде интеграла в бесконечных пределах, то их можно попытаться трактовать, как "закон сохранения". Однако, это не очень-то удается: законы сохранения должны иметь в качестве аргумента время, а сам этот интеграл не должен зависеть от времени. Например, "интеграл от плотности энергии по пространству равен константе".
Поправьте меня, если я ошибаюсь, но мне кажется, что здесь мы имеем нечто иное. Эренфест пишет: "Однако если еще одно дополнительное условие, накладываемое на функцию F (v, f, g), может быть выбрано произвольно, то, естественно, любую функцию F можно получить в качестве граничного распределения". Записано интегральное ограничение на свертку функции F (v, f, g) с произвольной функцией Ф. Получено решение и показано, "результат существенно зависит от вида произвольной функции Ф". Сделан вывод: "Любое желаемое спектральное распределение можно получить даже бесконечным числом различных способов, присоединяя выбранное подходящим образом соотношение".
Замечание 68. Что здесь означает "можно получить"? Физически можно получить любое распределение? Отнюдь нет! Любой закон можно подогнать пот данный вид выбором функции Ф, которая введена в данный вид закона произвольно - вот что, видимо, надо понимать за этим. То есть нам дана функция, которая может быть чем угодно в частности, а в общем виде записана через интеграл и некоторую какую угодно функцию. Спасибо, конечно, но хотелось бы вернуться в область физики!
В следующем параграфе Эренфест пишет: "Можно специально поставить задачу получить спектральную формулу, данную г. Планком ... (дана формула) ... поскольку она, как известно, очень хорошо согласуется с данными наблюдений. Согласно приведенному выше рассуждению, и в этом случае можно, конечно, произвольно выбирать различные формы для дополнительного вариационного условия. Мы рассмотрим лишь то условие, которое было выбрано г. Планком. В используемой здесь терминологии оно может быть сформулировано примерно следующим образом: собственные колебания частоты ν могут обладать лишь такими энергиями εν, которые являются целыми кратными величины ε0=h ν". "Это равносильно тому, как будто для каждой частоты ν энергия колебаний состоит из "атомов энергии", величина которых численно равна ε0=h ν". Это - соотношение (9) (см. ниже).
Замечание 69. Можно было бы убрать все формулы (что мы и сделали) и оставить один единственный вывод. Этот вывод получен не Эренфестом, а г. Планком. Он состоит в том, что излучение на каждой частоте имеет свою энергию, и эта энергия меняется скачкообразно, а величина скачка с некоторой точностью пропорциональна частоте излучения. Этот закон, как сказано, хорошо согласуется с реальностью. Но этот закон никак пока еще не связан с решением вопроса о том, каковы частоты излучения тех или иных атомов, и как эти частоты соотносятся со структуры атомов? Имеется ли зависимость частот излучения от атомарной структуры? Или же атомарная структура зависит от частот излучения атомов? Или же и то и другое зависит от чего-то третьего, более первичного в этом смысле? Или, наконец, ни то ни другое никак не зависят друг от друга? Уже при такой постановке вопроса на уровне интуиции ясно, что, во-первых, эти свойства атомов должны быть взаимосвязаны, во-вторых, логичнее предположить, что характер излучения зависит от структуры атомов, чем структура атомов зависит от характера излучения. Излучение энергии - это явление, которое имеет место не всегда. Свойства излучения, по-видимому, зависят от структуры атома. Структура атома - это постоянное свойство атома, состоящее, видимо, в законах движения электронов около ядра. Эта структура определяет законы микродвижений электронов - отклонений от стационарных траекторий и возвращения на них. Отклонения и возвращения должны сопровождаться изменением энергии электрона. Следовательно, структура задает характер этих движений, а характер этих движений задает величину энергии, как поглощаемой при переходе на более энергетический уровень, так и излучаемой при переходе на менее энергетический уровень.
Замечание 70. Представим себе качели под мелким и частым дождем, на одной стороне которых расположен сосуд (кружка), а на другой стороне - противовес. Пусть качели устроены таким образом, что если кружка пуста, то плечо, на котором она находится, поднято наверх. Пока капельки дождя набираются в кружку, она остается наверху до тех пор, пока в ней не наберется такой объем, который преодолеет противовес. Как только этот объем наберется, это плечо с кружкой пойдёт вниз. В нижнем состоянии кружка принимает такое положение, в котором вода выливается, после чего качели возвращаются в исходное состояние. Этот пример весьма поучителен: такое простейшее устройство будет преобразовывать поток вещества с одним свойством в поток вещества с другим свойством, и если мелкий дождь принять за модель непрерывно распределенного вещества, то порции воды, выливаемой кружкой можно по аналогии сопоставить с квантом этого же вещества. Мы видим, что структура системы ответственна за характер испускания при преобразовании потока. Нечто аналогичное может иметь место и при преобразовании тепловой энергии в энергию излучения (тепловая энергия в некотором смысле - это тоже энергия излучения, но с другими свойствами, а именно: с большой длиной волны). Теперь если изменить груз или длину плеч качелей, то порция воды будет другой, и частота наполнения кружки и излучения этой порции также изменится. Можно заметить, что и частота выплескивания воды и объем этой порции находятся в зависимости от структуры этого объекта. Если окажется, что чем больше доза воды, тем реже она выплескивается, то это еще отнюдь не означает, что частота и доза связаны некоторым фундаментальным соотношением. Просто-напросто и то и другое зависит от веса противовеса, то есть от некоторого параметра объекта. Хотя, конечно, если мы выведем закон об обратном соотношении частоты выплескивания и массы, то этот закон будет хорошо согласовываться с экспериментом. Теперь если наши приборы не позволяют фиксировать мелкий дождь, но позволяют фиксировать порции воды, то мы могли бы предположить, что вода принципиально может существовать лишь дискретно, квантованными порциями. В доказательство этому тезису мы привели бы этот эксперимент. Но правы ли мы были бы в этом случае?
Эренфест вводит "для собственных колебаний частоты ν изображающую плоскость (f, g). Каждому собственному колебанию на ней соответствует изображающая точка, которая характеризует мгновенное состояние системы, совершающей колебания. Указанная гипотеза атомов энергии при этом гласит, что изображающая точка собственного колебания частоты ν не может занимать произвольное положение на плоскости, а может лежать лишь на определенных кривых, а именно на семействе эллипсов
εν = mhν".
Здесь f - частота, а g - импульс излучения, m - целое число "от нуля до такого значения, выше которого величина mhν начинает превосходить заданную величину полной энергии излучения".
Далее любопытно: "После этого экскурса мы еще раз вернемся к вопросу ... каким образом теории Планка удается обезвредить бесконечное число ультрафиолетовых обертонов полости, так что они не забирают на себя всю энергию, даже напротив, спектральная кривая очень быстро спадает в ультрафиолете? Легко понять, как в этом смысле должно проявляться выражение (9) для величины атомов энергии: согласно уравнению (9), планковские атомы энергии неограниченно возрастают с ростом ν". "Конечно, это обстоятельство не вызывает серьезных физических возражений, поскольку, как показывает оценка на основе чисел, даваемых г. Планком в области наблюдаемого излучения ε0 [квант энергии] по порядку величины равно средней кинетической энергии молекулы при T=1000K. Однако с методической точки зрения оно представляется немаловажным при сравнении теории Планка с теориями Релея-Джинса и Г.А. Лоренца".
Замечание 71. Со сказанным трудно полностью согласиться, если попытаться осознать, что же все-таки было сказано. Получается, что при увеличении частоты излучения допустимый квант излучения пропорционально растет. Для того, чтобы излучить один квант излучения в ультрафиолетовой области, молекула должна получить такую энергию, которую она имеет при температуре T=1000K. Излучив такой квант, молекула должна, видимо, охладиться практически до абсолютного нуля. Из этого следует, что, видимо, излучение в ультрафиолетовой области принципиально невозможно при низких температурах. Но мы знаем, что оно имеет место. Некоторые лампы излучают именно в этом диапазоне, при этом почти не нагреваясь. Возможно, Эренфест имел в виду что-то другое?
Замечание 72. По-видимому, следует заключить, что в области рентгеновского излучения энергия принимает существенно более выраженную квантованную форму, нежели в области инфракрасного излучения. Эти эффекты, следовательно, должны лучше наблюдаться. Причем, если мы говорим о дискретности, как о свойстве энергии, то это свойство должно оставаться таким, не зависимо от способа формирования излучения. Получается так, что мы, рассуждая исключительно о модели атома, получили закон, который должен быть справедлив к любому излучателю энергии, будь то атом, молекула, или просто ядро. Мы знаем, что при распаде ядер происходит выделение рентгеновского излучения. Ничто в принципе не мешает предположить, что это излучение - следствие движения вовсе не электронов, а протонов. Механизм движения протонов при этом даже не упоминался. Тем не менее, оказывается, мы уже получили определенный результат, если хотите, прогноз на то, каким образом будет связан квант рентгеновского излучения с частотой. Этот результат интересен, следует ожидать его широкое обсуждение в последующей литературе, особенно, если учесть, что опыты с рентгеновским излучением не прекращаются.
Заключение к части 6
Теории излучения как таковой мы в рассмотренном материале не усмотрели. Замечания к этой теории, сделанные Эренфестом, не всегда могут быть приняты. По-видимому, суть квантовой теории света состоит в утверждении, что энергия излучения может существовать лишь строго определенными порциями. Однако эти порции, как оказалось, зависят от частоты излучения. Совершенно не понятно, из теории Планка, какова связь между дискретностью энергии излучения и строением атома. Ведь величина дискреты зависит от частоты излучения. Следовательно, ничто не мешает излучать произвольную величину энергии - лишь бы выполнялось соотношение, увязывающее энергию и частоту этого "атома энергии" (то есть, видимо, фотона), То есть фотоны могут существовать с совершенно произвольной энергией, ну так тогда не понятно, почему атом не может излучать совершенно произвольные фотоны? Если атом получит энергию, равную доле энергии кванта излучения на частоту, соответствующую синему цвету, что мешает ему излучить эту энергию в виде фотона, соответствующего красному цвету? Вообще, по-видимому, энергия всё же никак не связана с частотой излучения уже после того, как излучения состоялось, тогда как она связана с этим напрямую в процессе излучения. Если бы эта связь сохранялась и после излучения, то стоило бы, например, ослабить силу пучка света, как он бы сразу же перекрашивался.
Надо признаться, что о физической сути процесса мы смогли почерпнуть чрезвычайно мало. Никакой модели этому процессу не дано. Конечно, эту модель надо искать не в трудах Эренфеста, а в трудах Планка, но мы к ним еще вернемся. Возможно, читатель увидит хоть какую-то модель в нашем замечании номер 70.
В чем же всё-таки состоит квантовая теория Планка, и насколько она соответствует реальности?
На этот вопрос пока что хочется ответить словами того же Эренфеста: "Замечания эти содержатся в моей работе, которая должна появиться несколько позднее; там же будет дано более строгое обоснование высказываемых здесь положений" [1, c.40].
Литература
1. П. Эренфест. Относительность, кванты, статистика. Сборник статей. М., Наука, 1972.
2. Телер Дж., Пестель М. Анализ и расчет нелинейных систем автоматического управления. М.-Л., издательство Энергия, 1964. - 488 с.
3. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. Под ред. Р.А. Нелепина. Главная редакция физ.-мат. Литературы. М., Наука, 1975. - 448 с.
4. Цыпкин Я. З. Релейные автоматические системы. Главная редакция физ.-мат. Литературы, изд-во Наука. М., 1974. - 576 с.
5. Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. - 1983. - 928 с.