Эренфест об одной механической теореме Больцмана и ее отношении к теории квантов
"Если сжимать черное
или же нечерное
излучение
обратимо адиабатически
сдвиганием окружающих его
абсолютно отображающих
стенок,
то происходит,
как известно,
следующее ..."
П. Эренфест [1, с.51]
"Если сжимать черное или же нечерное излучение обратимо адиабатически сдвиганием окружающих его абсолютно отображающих стенок, то происходит, как известно, следующее..."
Замечание 73. Читается это прямо, как стихи! Особенно поражает это "как известно". Если нечто описано, и получило название, например, "закон Вина", или "закон Релея-Джинса", или, скажем, "закон Планка", то это уже считается известным. А ведь описаны, возможно, чистые фантазии и абстракции. А вот так прочитаешь, и чувствуешь себя увереннее: "действительно, же, всем же известно, что там всё-таки у них происходит, если сжимать черное или нечерное излучение". Прямо Жванецкий какой-то. "Мы так часто это проделываем - сжимаем излучение! Как правило, мы делаем это адиабатически и обратимо". То есть, во-первых, система не получает извне энергии, и не отдает ее вовне. Во-вторых, энтропия системы остается постоянной. То есть надо просто следить за энтропией и не допускать перетекания энергии. "И всем нам известно, что при этом происходит!" А именно:
"... число колебаний vp и энергия Еp каждого собственного колебания полости растут во время сжатия и именно так, что для каждого из бесконечного числа собственных колебаний
δ(Еp / vp)= 0 (р= 1,2,..., оо). (1)
Соотношение (1) имеет основное значение для чисто термодинамического вывода закона смещения Вина, а также для всякой статистической теории излучения, желающей оставаться в согласии со вторым началом термодинамики. Оно служит также основой для гипотезы Планка о ступенях энергии
εν= 0, h, 2h,... (2)
В последнее время предположение Планка (2) переносится из первоначальной области (энергия систем, колеблющихся гармонически) на быстро расширяющийся круг явлений (конечно, ощупью)".
Замечание 74. Здесь произошло то, что необходимо замечать при чтении любой научной статьи: автор сделал вид, что для некоторой гипотезы, которая на самом деле никак не обоснована теоретически, якобы существует теоретическое обоснование, которое, к тому же, опирается на хорошо известный факт! С таким же успехом можно было бы заявить: "Если сжимать черную или нечерную душу, необратимо и аморально, то происходит, как известно, следующее: общее количестве пигмента и волос кожного покрова остается тем же самым, тогда как его размеры бесконечно уменьшаются, что приводит к увеличению удельной волосистости и темноты этого покрова, увеличивает роговые образования (копыта, рога, когти). Это утверждение служит основой гипотезы о том, что падшая душа принадлежит дьяволу и становится похожей на него внешне: черной, волосатой и рогатой, копытной, хвостатой".
Замечание 75. Попробуем разобраться, что же всё-таки сказано, и какие сделаны выводы. В сказанном просматривается следующее: некоторая полость содержит в себе некоторые колебания, и эти колебания, по-видимому, характеризуются геометрией этой полости. Допустим, на двойном диаметре полости должно укладываться целое число длин волн. Утверждается, что можно эту полость пропорционально уменьшать, так, чтобы энергия этих колебаний не менялась. По-видимому, предполагается, что, соответственно, каждое из этих колебаний вследствие уменьшения размеров, увеличит свою частоту, а заодно и энергию. Напомним, что дискретность (счетное множество) в соотношении (1) относится к собственным колебаниям полости. В соотношении (2) речь идет о совсем другой дискретности, а именно: о дискретности энергии. В первом случае мы плавно (насколько я понимаю) изменяли геометрические размеры, а во втором случае, видимо, речь идет о дискретности энергий, которая, согласно квантовой теории, в конечном счете, ответственна за дискретность орбит электрона. Каким образом из плавного изменения полости появилась ее дискретность, не понятно.
"Возникают два вопроса.
1. Имеет ли место при переходе от гармонически колеблющихся систем (причем движение повинуется линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами) к более общим системам "теорема адиабатического воздействия", аналогичная уравнению (1)?
2. Если да, то как ею воспользоваться при распространении планковой гипотезы (2) на системы, колеблющиеся негармонически?"
Замечание 76. Вот он - ещё новый сюрприз! Надо ли отвечать на эти вопросы? Поставленные вопросы кажутся слишком наивными, если учесть, сколько уже нами прочитано! Разумеется, ответы на эти вопросы, возможно, кого-то интересуют, но для нас пока еще остался невыясненным более важный вопрос: в какой мере линейные системы могут нас удовлетворить при обсуждении квантовой теории? Напоминаю, что мы ищем взаимосвязь структуры атомов и молекул со спектрами их излучения. Нас еще интересует, как может быть объяснена стабильность атома, отсутствие его излучения в стационарном состоянии, сферическая (или более широко - объемная) форма. Нас интересует, почему электроны не падают на ядро атома, и почему не имеет места тот, казалось бы, обязательный прогноз о том, что заряженная частица при движении к центру притяжения должна всегда оставаться в плоскости, заданной этим центром и направлением вектора скорости. А нас опять пичкают линейными системами. Но ведь известно уже, что линейная система дает именно те решения, которые не имеют места в действительности.
"На первый вопрос ответ утвердительный. При попытке обобщить теорему адиабатического изменения (1) я заметил, что такое обобщение, и притом поразительно широкое, непосредственно следует из одной механической теоремы, найденной независимо друг от друга Болыщаном и Клаузиусом (см. ?1)".
Замечание 77. Что ж. Имеет смысл посмотреть ?1, не так ли?
"На второй вопрос я могу пока ответить только указанием примера. Встречающиеся здесь трудности - наиболее неприятная была указана мне в разговоре Эйнштейном - я изложил в ?? 2, 3, 4, не умея их устранить".
Замечание 78. Мы не будем придираться к Эренфесту за то, что он чего-то не сумел. Умение признать неумение целиком и полностью искупает эту маленькую недоработку. Замечание 79. Эйнштейн и здесь оказался в курсе вопроса, Эйнштейн занимался обсуждением квантовой теории с Эренфестом.
Эренфест продолжает: "Возможно еще следующее суммарное возражение. Можно сказать: нельзя комбинировать теорему, выведенную из механических уравнений, с антимеханической гипотезой квантов. Ответ: закон смещения Вина позволяет надеяться, что результаты, полученные при рассмотрении макроскопически-адиабатических процессов из классической механики и электродинамики, и в будущей "механике квантов" останутся в силе".
Замечание 80. Логики здесь не просматривается. Суть утверждения: мы используем те законы, от которых отказались, но надеемся, что следствия останутся в силе. Если кому-то кажется это убедительным, то разъясните и мне, пожалуйста.
"? 1. Пусть qlt..., qn координаты механической системы. Пусть потенциальная энергия Ф системы зависит не только от координат q, но еще от некоторых "медленно меняющихся параметров" v1, v2, ... Кинетическая энергия Т системы - однородная квадратичная функция скоростей q. Ее коэффициенты могут зависеть не только от координат q, но и от параметров v.
Пусть система обладает еще следующим свойством: при произвольно выбранных, но постоянных значениях параметров v1, v2, ... все движения системы периодические независимо от начальной фазы (qlt..., qn, рг,..., рп). Период Р будет, вообще говоря, зависеть не только от значений v1, v2,..., но и от начальной фазы (q0, р0) системы.
Бесконечно медленным изменением параметров vl, v2, ... можно всякое первоначальное движение (А) системы превратить в другое (В). Этот род воздействия на систему мы назовем "адиабатическим воздействием" на движение.
Если обозначить соответствующие периоды движения через PА и РB или обратные им "частоты" - через VA и VB, средние во времени кинетические энергии - через ТА и TB то имеет место соотношение
(T/v)A=(T/v)B. (I)
При адиабатическом воздействии на периодическую систему отношение средней во времени кинетической энергии к "частоте" остается неизменным (теорема адиабатического воздействия)".
Приводится соотношение (II) для бесконечно малого адиабатического изменения. "("Действие", вычисленное для одного периода, остается при адиабатическом воздействии постоянным.) Последнее уравнение не что иное, как специальный случай теоремы Больцмана, Клаузиуса и Сцили, вывод и формулировку которой можно найти в "Лекциях по механике" Больцмана (т. II, ?48)".
Замечание 81. Разумеется. Далее мы позволим себе опустить замечания Эренфеста о некоторых частных случаях.
Далее дан любопытный пример, демонстрирующий методику рассуждений.
"Пример: точка, не подверженная силам, движется в закрытой с обеих сторон трубке взад и вперед. Пусть в середине трубки бесконечно медленно возникает и растет отталкивающее силовое поле. Тогда наступает момент, когда точка с ее запасом кинетической энергии не может пройти через эту "преграду" и продолжает двигаться взад и вперед в половине трубки. Если силовое поле имеет исчезающие изменения, то кинетическая энергия окончательного движения равна таковой первоначального; "частота" же удвоилась, так как путь уменьшился вдвое. Первоначальное движение распалось во время адиабатического воздействия на две отдельные ветви".
Замечание 82. Адиабатическое предполагает отсутствие сторонних источников энергии. Вместе с тем речь идет о возникновении некоторой силы, которая сначала "медленно растёт" - не ведь при этом точка должна начать совершать работу по преодолению этой силы - а затем и вовсе становится непреодолимым препятствием для этой точки. Вправе ли мы говорить, что не вносим энергию в такую систему? И вообще - все эти примеры с адиабатическим сжатием и построением непреодолимых перегородок - как они соотносятся с квантовой теорией, которая как бы состоит в том утверждении, что энергия по природе носит квантованный характер? Как-то не вспоминается это Эренфестом. Да и почти не используется в рассуждениях.
Еще один пример Эренфеста.
"? 3. Покажем на примере, как можно применять "теорему адиабатического воздействия". Этот пример касается распространения планковой гипотезы (2) на вращающиеся диполи.
Твердый диполь подвешен так, что может свободно вращаться вокруг оси 2. Параллельно оси х действует сильное направляющее поле. Мы рассматриваем сперва бесконечно малые качания диполя. Пусть q- угол поворота, p - соответствующий момент (произведение момента инерции и угловой скорости), v0 - частота качаний.
Согласно предположению (2) Планка точка, изображающая состояние диполя в плоскости (q, p), может лежать только на эллипсах, относящихся к энергиям 0, /iv0, 2tov0,.,. Для них, следовательно, имеем
T/v0 = 0, h/2, 2h/2, ..., nh/2, (4)
как всегда (гармонические колебания!)
T = ε (5)
К энергии ε = 0 - относится бесконечное число точек покоя и равновесия:
p=0, q=0, ?2π, ?4π, ?6π,
энергии ε = nhv0 - определенные равные эллипсы вокруг точек (5).
Воздействуем адиабатически на это начальное движение и поля посредством бесконечно медленного изменения направляющего силового поля или же момента инерции. Этим воздействием можно бесконечно малые качания превратить в качания конечной амплитуды. Затем диполь опрокидывается и начинает вращаться вправо или влево, сперва заметно неравномерно, наконец - с постоянной угловой скоростью.
Рис. 1 дает возможность уяснить себе непрерывное изменение движения, в особенности переход через особенное движение gH. Полному качанию соответствует в окончательном состоянии двойное вращение равномерно вращающегося диполя (0≤q≤2π) ABE".
Далее приводится любопытнейший рисунок - рис.1 - который мы здесь воспроизводим.
Этот рисунок отображает, как должны, исходя из общих соображений, развиваться движения в рассмотренной системе. Приводимые на рис.1 зависимости не получены расчетным путем - лишь путем рассуждений были получены некоторые особые точки. Далее приводятся рассуждения о том, каким образом эти эллипсы могут вырождаться в прямые линии, и тому подобные качественные интерпретации.
Для начала приведем рис.1.
Рис. 1 из книги Эренфеста [1].
Замечание 83. Я еще раз напоминаю - картинка, приведенная на рис.1, представляет достаточный интерес с позиции анализа возможных движений в системе - при обсуждении квантовой теории света. Квантовая теория, я напоминаю, это такая теория, которая утверждает, что энергия при излучении абсолютно черного тела выделяется порциями, что положено в качестве постулата в эту теорию. Я напоминаю, что постулатами являются такие положения в теории, которые невозможно вывести из более простых положений, но истинность которых считается несомненной. Постулаты принимаются в теорию, как еще одна уступка эксперименту: ни доказать, ни обосновать, ни вывести положения постулата не представляется возможным. В честности, квантовая теория рассматривает классические представления о колебаниях лишь для того, чтобы заключить, что они дают вовсе не ту картину, которая имеет место в реальности. При этом рассматриваются лишь линейные модели, поскольку считается, что с нелинейными моделями задача становится такой сложной, что решать ее в общем виде невозможно. Тем более, невозможно обсуждать и прогнозировать результаты. Множество сложных формул приведены в рассмотренном труде отнюдь не в порядке выведения последующих из предыдущих - они попросту показывают нам как труден расчет. Сутью квантовой теории остается лишь представление о том, что по неведомым причинам энергия при излучении проявляет квантовые свойства, то есть, дискретность. Картинка рис.1 иллюстрирует тот характер движения, который никак не может быть получен решением линейных уравнений без принятия постулата о квантовом характере энергии. Постулат о квантовом характере энергии берется не как следствие структуры атома или молекулы, а как свойство энергии вообще. Структура же атома даже и в этом случае не выводится из квантовой теории - единственное, что удается сделать, это указать на то, что, коль скоро, энергия в атоме имеет квантованные значения, то и далеко не всякая орбита электрона разрешена, а поэтому электрон не свободен в выборе орбиты. Счетное количество орбит примиряет нас с неизбежностью счетных видов траекторий, то есть со стационарным состоянием атома, которое не зависит от начальных условий движения электронов и не так сильно зависит от теплового движения, как это было бы в классической теории. Таким образом, мы приходим, исходя из постулата о квантовой природе энергии, к следствию о нелинейной системе "ядро + электроны". Однако эта нелинейность не динамическая, а как бы статическая. То есть скорость электрона никак не принимается в расчет при обсуждении возможности той или иной орбиты. Можно лишь предположить, что некоторые орбиты характеризуются некоторым значением потенциальной и кинетической энергии, и различные орбиты описываются различным уровнем энергии. При этом представить какую-либо конкретную орбиту электрона с подобными свойствами физикам не удается. Если бы мы попытались учесть еще и динамическую нелинейность, то есть зависимость сил притяжения от скорости электрона, то такая модель стала бы чрезвычайно сложной для расчетов. Однако, не согласятся ли мои уважаемые читатели, что сама по себе динамическая нелинейность не должна все-таки иметь место? Не согласятся ли они, что если учета этой нелинейности окажется достаточным, чтобы получить дискретные, счетные устойчивые орбиты, то в квантовой теории следует отказаться от постулата о квантовой природе энергии? Ведь если квантовый характер излучения определяется структурой, а квантовая структура определяется динамическими нелинейностями, то, оказывается, что даже в рамках классической физики с указанными оговорками (вполне обоснованными) можно получить квантовый характер излучения как СЛЕДСТВИЕ, а не как постулат? Допуская квантовый характер энергии, мы тем самым уже неминуемо допускаем нелинейные уравнения движений электрона в атоме. А допуская нелинейность этих движений, мы должны отказаться от применения аппарата дифференциальных функций и дифференциальных и интегральных уравнений! Это совершенно аналогично тому, как следует отказаться от применения колес при движении по воде и отказаться от ветряного движителя при движении в безвоздушном пространстве.
Имеет место нелинейная система. Следовательно, необходимо применять теорию анализа нелинейных систем [2].
Замечание 84. Чтобы читатели мои отбросили все сомнения, я приведу ниже картинку из книги, которая как раз и посвящена анализу нелинейных систем. Эта картинка знакома любому специалисту по системам управления. Эта картинка называется "ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ ЗАМКНУТОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ" [2, рис. 3-6].
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ ВСЕГДА
Литература
1. П. Эренфест. Относительность, кванты, статистика. Сборник статей. М., Наука, 1972.
2. Телер Дж., Пестель М. Анализ и расчет нелинейных систем автоматического управления. М.-Л., издательство Энергия, 1964. - 488 с.
![[]](/img/z/zhmudx_w_a/quanti7/pic1.jpg)
![[]](/img/z/zhmudx_w_a/quanti7/pic2.jpg)